Home Blog Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Contact

3x+1 simpel

We beginnen met een of ander getal. Bijvoorbeeld het getal 10:

 

Nog een keer, maar we beginnen met een ander getal. Bijvoorbeeld 11:

En nu nog een keer wat sneller:

SAMENVATTING

Tot drie keer toe zijn we begonnen met een, willekeurig, geheel en positief getal. Was dit getal even dan deelde we het door twee. Was het oneven dan vermenigvuldigde we het met drie en telde er volgens nog één bij op. Met het aldus verkregen getal deden we hetzelfde en we gingen door tot we het getal 1 verkregen.

De grote vraag

We zijn tot drie keer toe op 1 uitgekomen. Is dat logisch? Is dat altijd zo? Of anders geformuleerd: Komen we via het hierboven beschreven proces altijd uit op 1, ongeacht het gehele positieve getal waar we mee zijn begonnen.

Voordat we dieper op deze vraag ingaan eerst een andere vraag:

Zou er dan ook wat anders kunnen gebeuren?

Om hier wat meer over te weten te komen gaan we eerst eens kijken wat er gebeurd als je bij het bovenstaande proces niet stopt bij het getal 1, maar verder gaat dus:

Korter :

We komen dus in een zichzelf herhalend proces terecht wat eeuwig voortgezet kan worden. We zeggen dat het proces in een loop (spreek uit: loep) komt.
Dat proces ontstaat doordat in de rij een getal voor de tweede keer verschijnt, namelijk het getal 4
Maar dan is het ook voorstelbaar, dat beginnende met een of ander geheel, positief getal p waar we het hierboven beschreven proces op los laten, een ander getal dan 4 voor de tweede keer in de rij getallen verschijnt. We komen dan in een andere loop dan de loop {4,2,1} terecht en zullen nooit meer op het getal 1 terecht komen.

Er is nog een andere mogelijkheid. Stel je voor dat voor een of ander getal p er net zo vaak de regel 3x+1 als de regel delen door 2 moet worden toegepast. Dan zullen er als maar grotere getallen in de rij verschijnen en wordt het getal 1 nooit bereikt.

SAMENVATTING

Voor het hierboven beschreven proces zijn er voor een getal p de volgende mogelijkheden:

  1. De rij getallen komt een keer op het getal 1 ( en dus in de loop {4,2,1} terecht).
  2. De rij getallen komt in een andere loop dan de loop {4,2,1} terecht.
  3. De rij getallen wordt oneindig lang.

Tot nog toe is er nooit een getal gevonden waarbij de rij niet op 1 terecht kwam. Maar een bewijs hiervoor is er niet. Er wordt nog altijd gerekend aan dit probleem. Meer hierover op de pagina 3x+1. Je kunt ook mee rekenen. Meer info hierover op dezelfde pagina.

 

naar begin pagina

©jos hendriks, 2008-2010