kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>basics>meer,minder, evenveel english soon


meer,minder, evenveel

verzameling 2
verzameling 1

 

Op welke van de twee foto's hierboven zijn de meeste voorwerpen afgebeeld?

Om deze vraag te beantwoorden heeft u vrijwel zeker geteld: 1,2,3,4, ..... En het is natuurlijk totaal geen moeilijke vraag.
Maar is het mogelijk op een andere manier, een fundamentelere manier tot het juiste antwoord te komen? Om het via tellen te doen moet u toch ooit dat tellen geleerd hebben. Iedere naam bij het juiste getal en ook de volgorde moet goed zijn. U bent dat, neem ik aan, allang vergeten, maar het heeft menig uurtje gekost. Kan het anders, kan het zonder dat tellen?
Ja, dat kan. Je kunt tot de conclusie komen, dat de ene verzameling groter is dan de andere of dat ze even groot zijn, door de objekten in de verzamelingen te "paren", twee aan twee naast elkaar te leggen. Als je objekten steeds twee aan twee naast elkaar legt (of tegen elkaar wegstreept als je ze niet naast elkaar kan leggen), zal op een gegeven moment één verzameling leeg zijn, Dat moet dan degene zijn, die het kleinste aantal objecten bevatte. Of, een andere mogelijkheid, de verzamelingen zijn op een gegeven moment gelijktijdig leeg en dan zijn de verzamelingen even groot. Je hoeft kennelijk niet te kunnen tellen om de grootte van verzamelingen met elkaar te vergelijken.

We maken nu een flinke stap en gaan kijken naar verzamelingen in de wiskunde, die nogal groot zijn. Als eerste voorbeelden nemen we de verzameling van de natuurlijke getallen en de verzameling van de positieve tweevouden, inclusief 0: {0,2,4,6,8,.........}.
Hoeveel objecten, elementen, getallen bevatten deze twee verzamelingen?
In ieder geval oneindig veel. Hoe weet ik dat? Wel stel dat het er niet oneindig veel zijn. Dan zijn het er eindig veel. Bij een verzameling van eindig veel getallen is er een grootste getal. Noem dat getal n. Maar n+1 is groter en zit ook in de verzameling natuurlijke getallen. Hieruit volgt dan n niet het grootste getal in de verzameling is. Er is dus een tegenspraak en de verzameling kan niet eindig zijn. En voor die andere verzameling geldt dat als n het grootste getal zou zijn van de tweevouden, dan is n+2 ook een tweevoud en hoort ook in de verzameling van de tweevouden. We komen hier ook tot een tegenspraak. De twee verzamelingen zijn niet eindig en bevatten dus oneindig veel getallen.

Een andere vraag is: "Welke van deze verzamelingen, die van de natuurlijke getallen en die van de positieve tweevouden is de grootste"? Anders gezegd: "Welke van deze twee verzamelingen bevat de meeste elementen"?
Antwoord 1: Ze bevatten alle twee oneindig veel elementen. Oneindig veel is oneindig veel, ze bevatten dus evenveel elementen(getallen).
Antwoord 2: Ieder element, getal uit de verzameling van de positieve tweevouden zit in de verzameling van de natuurlijke getallen. Maar in de verzameling van de natuurlijke getallen zitten ook nog de getallen 1,3,5,7 .... en die zitten niet in de verzameling van de tweevouden. De verzameling van de natuurlijke getallen bevat dus meer getallen, is groter. Je zou zeggen, deze verzameling van de natuurlijke getallen is twee keer zo groot als de verzameling van de tweevouden.

Wat is correct? Antwoord 1 of antwoord 2?

Anders dan men je op verschillende plaatsen op het net wil doen geloven is hier niet zomaar een van de twee antwoorden correct en het ander niet. Wiskunde is vooal het vinden van goede definities, die allereerst niet tot strijdigheden leiden en verder zoveel mogelijk zin hebben, praktisch zijn, bij de rest van de wiskunde aansluiten.

Er is een definitie voor de "grootte van een verzameling" waarbij je kunt zeggen dat de verzameling van de natuurlijke getallen even groot is als de verzameling van de tweevouden. Er zijn ook definities waarbij de verzameling van de natuurlijke getallen groter is dan de verzameling van de tweevouden. Deze laatste definities leiden niet tot veel bruikbaars, vandaar dat ik hier in ga op de definitie, die tot de conclusie leidt dat de verzamelingen "even groot" zijn.

We gaan terug naar de meest fundamentele methode om verzamelingen met elkaar, qua aantal elementen, te vergelijken. Dat is dus "paren maken", steeds één element van de ene verzameling koppelen aan één element van de andere verzameling:

een op een

Ieder voorwerp uit de eerste verzameling is gekoppeld aan een voorwerp uit de tweede verzameling. En ook andersom: Ieder voorwerp uit de tweede verzameling is gekoppeld aan precies een voorwerp uit de eerste verzameling. Dit is een afbeelding van verzameling 1 naar verzameling 2, maar ook een afbeelding van verzameling 2 naar verzameling 1. Zo'n afbeelding heet een bijectieve afbeelding of korter gezegd een bijectie. De afbeelding van verzameling 1 naar verzameling 2 is een bijectie, en ook de inverse van deze afbeelding van verzameling 2 naar verzameling 1 is een bijectie. De twee verzamelingen worden "gepaard".
Als je nu twee verzamelingen hebt, waarbij een bijectie mogelijk is dan noemen we deze verzamelingen gelijkmachtig. Zijn deze verzamelingen eindig dan bevatten ze evenveel elementen.

 

De x-en zijn de elementen in de verzamelingen A en B. De pijlen geven de koppeling aan. Dit is een bijjectie.

Er zijn ook bij niet-eindige verzamelingen bijecties mogelijk. Neem als voorbeeld de twee verzamelingen van hierboven: de natuurlijke getallen en de positieve tweevouden en bekijk de volgende afbeelding:

f: x->2x van ->positieve 2-vouden

dan

0->0
1->2
2->4
3->6
4->8
enz

Dan heeft ieder getal uit de eerste verzameling (natuurlijke getalllen), precies één beeld en ieder 2-voud heeft een origineel. De funktie fis een bijectie. De twee verzamelingen heten gelijkmachtig.
We zeggen dus niet dat de twee verzamelingen even groot zijn of evenveel elementen, getallen bevatten.

Het zou goed zijn als u nu de volgende vragen zou proberen te beantwoorden:

  1. Welke bijectie is er van de 2-vouden ->?
  2. Zijn en de 12-vouden gelijkmachtig?
  3. Zijn en de verzameling van alle kwadraten gelijkmachtig?
  4. Zijn en deze verzameling {.........-6,-4,-2,0,2,4,6.........} gelijkmachtig? Geef, indien mogelijk, een bijectie.
  5. Zijn en gehele getallen, de verzameling van de gehele getallen gelijkmachtig? Welke bijectie?

antwoorden

Tot nog toe zijn we alleen nog oneindige verzamelingen tegen gekomen, die gelijkmachtig zijn met natuurlijke getallen. Zouden alle verzamelingen gelijkmachtig zijn met natuurlijke getallen? Dan is "oneindig veel" altijd "hetzelfde".

Laten we dus eens gaan kijken naar een verzameling die een stuk "groter" lijkt dan de natuurlijke getallen, namelijk de verzameling der rationale getallen rationale getallen ofwel de verzameling van alle getallen, die je als een breuk kan schrijven. Mocht deze verzameling gelijkmachtig zijn met natuurlijke getallen dan moet er dus een bijjectie zijn van natuurlijke getallen naar rationale getallen, je moet dan ieder natuurlijk getal één op één kunnen koppelen aan de verzameling van de breuken. Je kunt dat ook formuleren door: dan moeten alle breuken op een (oneindig voortlopende) rij gezet kunnen worden.

Waarom?
antwoord

We zetten eerst alle breuken met teller 1 op een (oneindige) rij:

........

Vervolgens doen we dat ook voor alle breuken met een teller 2 en dan van alle breuken met een teller 3, dan die met teller 4 enz.

....
....
....
.... ...... .... .... .... .... .... ....
.... ...... .... .... .... .... ....            

We hebben nu een tabel, die naar twee kanten, zowel horizontaal als verticaal oneindig doorloopt. Het is duidelijk dat alle breuken er in voorkomen. Zo staat bijvoorbeeld de breuk in rij 42138 en in kolom 160183746.

Getallen komen in het schema meer dan één keer voor. Hoewel niet echt belangrijk voor het bewijs zullen we de "dubbele" weghalen. Dan krijgen we uiteindelijk een mooie bijectie. Getallen komen meerdere keren voor, omdat veel van de breuken nog te vereenvoudigen zijn: teller en noemer hebben gemeenschappelijke factoren.
We kunnen de getallen met een v weghalen

....
v v v v v v ....
v v v v ....
v v .... ...... .... .... .... .... .... ....
.... ...... .... .... .... .... ....            


We krijgen dit:

In dit schema komen alle positieve breuken precies één keer voor.

Nu laat ik zien hoe je alle getallen uit dit schema op een rij kan zetten:

Links bovenaan beginnen en dan diagonaal per diagonaal de getallen in een rij zetten.
Hiermee is aangetoond dat je de positieve rationale getallen op een rij kunt zetten en deze verzameling gelijkmachtig is met natuurlijke getallen. Door het getal 0 vooraan in de rij te zetten en tussen ieder twee getallen in de rij het getal met een -teken er tussen te zetten, dat gelijk is aan - het eerste van die twee getallen kun je alle rationale getallen op een rij zetten en is rationale getallen dus gelijkmachtig met natuurlijke getallen.

definitie

Een verzameling, die gelijkmachtig is met natuurlijke getallen heet aftelbaar.

Uit het voorgaande volgt niet alleen dat de verzameling van de rationale getallen aftelbaar is, maar dat ook

stelling

Iedere verzameling van aftelbaar veel aftelbare verzamelingen is aftelbaar.

bewijs

Je kunt de elementen op dezelfde manier als hierboven in een, naar rechts en naar beneden oneindig voortlopend rechthoekig schema zetten.

In 1874 bewees Cantor voor het eerst dat er verzamelingen bestaan, die niet aftelbaar zijn. De elementen van zo'n vezameling kunnen dus niet op een rij gezet worden. In 1894 gaf hij het bewijs wat in essentie hetzelfde is als hieronder. Ik heb het allemaal wat eenvoudiger geformuleerd.

stelling

De verzameling van alle rijen, die bestaan uit aftelbaar veel nullen en enen is niet aftelbaar.

bewijs

Stel deze verzameling is aftelbaar. Dan kunnen we ze op een rij zetten. Hier is het begin van die rij:

reeks 1: 00100011..........
reeks 2: 10110110........
reeks 3: 11111110..........
reeks 4: 10101010.........
reeks 5: 11001100.........
reeks 6: 11110000........
reeks 7: ........................
.....................................
.....................................

( het doet er niet toe wat er staat als elke reeks maar op een plaats verschilt)

We laten nu zien dat er tenminste één aftelbare reeks van nullen en enen niet in deze rij voorkomt, ongeacht hoe deze reeks eruit ziet. Deze niet in de rij voorkomende reeks, laten we hem D noemen, construeren we als volgt: Kijk naar het eerste getal in reeks 1. Is dat een 0 kies dan als eerste getal voor D een 1. Kijk nu naar het tweede getal in reeks 2. Is dat een 0 dan kiezen we voor het tweede getal van D een 1, anders een 0. Het derde getal in D nemen we 0 als het derde getal van de derde reeks 1 en anders nemen we 0. We kijken dus naar de diagonaal in het getallen blok hierboven en kiezen steeds een 0 als daar een 1 staat en een 1 als daar een 0 staat.
De zo geconstrueerde rij D kan niet in de lijst hierboven voorkomen. Hij verschilt van allemaal op tenminste een plaats: Zo verschilt hij van reeks 567891234 op plaats 567891234 en van reeks n op plaats n.

We hebben nu een tegenspraak. De aftelbare rij van rijen met enen en nullen bevat niet alle rijtjes enen en nullen en de verzameling van aftelbare rijen enen en nullen is dus niet aftelbaar.

Hiermee hebben we een verzameling, die wezenlijk groter is als de verzameling van de natuurlijke getallen. En we hebben dus minstens twee soorten oneindig.

 

 

 

.

 


naar begin pagina

home>basics>meer,minder, evenveel
©jos hendriks, 2008-2016