kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>betegelingen>!definities en terminologie english soon

definities en terminologie

inleiding

Veel van de definities, terminologie, classificaties, ordeningen en theorie over betegelingen is ontstaan in de laatste decenia. De terminologie is dan ook niet altijd hetzelfde. Hier gebruik ik de meest algemeen geaccepteerde.
Nederlandse termen zijn vaak niet voorhanden, omdat er nauwelijks iets in het Nederlands over betegelingen te vinden is. De termen die ik gebruik sluiten zoveel mogelijk aan bij de Engelstalige.
In publicaties over betegelingen, en dat maakt het ook wel erg interessant, worden vaak opsommingen van bepaalde typen betegelingen geclaimd als zijnde volledig, zonder dat er een duidelijk bewijs wordt gegeven. Enige tijd later komt iemand dan met betegelingen, die niet in de opsomming voorkomen met de opmerking "en nu is de opsomming volledig", waarna enige tijd later weer ... Beroemd is het voorbeeld van het aantal mogelijkheden, waarbij de betegeling bestaat uit slecht één vijfhoekige tegel. Zie betegelingen met één vijfhoek

Het doel van deze pagina, en ook van alle andere pagina's over betegelingen, is niet een wiskundig perfecte behandeling van het onderwerp, maar om op alle mogelijke manieren instrumenten en ideeën te verschaffen om fraaie en/of interessante betegelingen te ontwerpen.

Definities met voorbeelden en toelichting.

tegel, zijde, hoekpunt


Voorbeelden van tegels


En dit zijn geen tegels
Er mogen geen "gaten" in zitten, ze mogen niet bestaan uit 2 of meer stukken, verbonden door een punt of lijnstuk, niet onbegrensd zijn.

Op deze site beperken we ons tot tegels met rechte zijden en we definiëren een tegel als:

Eentegel is een veelhoek, waarvan de zijden elkaar niet snijden. Eenzijde is het verbindingslijnstuk tussen twee hoekpunten. Eenhoekpunt is het punt waar twee zijden samen komen.

to the top of the page

betegeling, rand, betegelingspunt


Drie voorbeelden van betegelingen

Een betegeling is het volledig opvullen van een vlak met een of meerdere verschillende tegels. De tegels sluiten zo tegen elkaar aan dat alles bedekt wordt en er ook geen overlappingen zijn.

In de formele definitie van een betegeling gaat het altijd over een oneindige, aftelbare overdekking van het vlak. Ook op deze site is het vrijwel altijd duidelijk dat de betegelingen, die we maken, willekeurig ver kunnen worden uitgebreid. Anders dan op deze site worden bij de formele definitie ook tegels met niet-rechte zijden toegelaten.


AB is een zijde van tegel 1, maar niet van tegel 4. B, C, D zijn hoekpunten van tegel 2. BC en CD zijn zijdes van deze tegel.
BCD is een rand van de betegeling omdat dat de grens is tussen tegel 2 en tegel 4. B en D zijn betegelingspunten, want dat zijn de eindpunten van een rand. C is geen betegelingspunt, het is namelijk geen eindpunt van een rand.

De grens tussen twee tegels noemen we eenrand van de betegeling.

Een eindpunt van zo'n rand noemen we eenbetegelingspunt.

to the top of the page

rand-op-rand betegeling


Iedere zijde van een tegel is ook een rand van de betegeling. Ieder hoekpunt van een tegel is ook een betegelingspunt van de betegeling. Dit noemen we een rand-op rand betegeling.


Geen rand-op-rand betegeling. Niet iedere zijden van de grote driehoeken is een rand van de betegeling, want twee van de drie zijden van zo'n grote driehoek bestaan uit 2 randen, n.l. de grens met een vierkant en de grens met een vierpuntige ster.

Een betegeling is een rand-op-rand betegeling als de hoekpunten en zijden van de tegels samenvallen met de betegelingspunten en de randen van de betegeling.

to the top of the page

regelmatige (convexe) tegel

Een regelmatige (convexe) tegel is een regelmatige veelhoek, waarvan de zijden elkaar niet snijden. Dus de regelmatige sterveelhoeken beschouwen we niet als tegels.

to the top of the page

Wel:

regelmatige stertegel


voorbeelden van regelmatige stertegels

 


Een achtpuntige regelmatige stertegel. De binnenste hoekpunten worden de (ster)tanden genoemd. Er zijn 16 zijden. De zijden zijn even lang.

Hoe maak je een regelmatige stertegel


Constructie van een regelmatige 4-puntige stertegel:
Teken op de vier zijden van een vierkant, vier even grote en naar binnen gerichte gelijkbenige driehoeken. De constructies van n-puntige tegels gaat op dezelfde wijze.
en zijn de hoeken van de stertegel. bij de punten en bij de tanden. Je kunt hoek kiezen. Je moet wel kleiner dan 1/2 kiezen. Dat bepaalt dan de gelijkbenige driehoek en vervolgens ook

Grootte van de hoeken van een regelmatige stertegel


ABCD... is een regelmatige n-hoek. M het middelpunt. Hoek is dus 2 /n
en zijn de hoeken ven de tegel.

Een n-puntige regelmatige stertegel is een veelhoek met 2n hoekpunten en 2n even lange zijden. Er zijn 2 hoeken van verschillende grootte, die elkaar afwisselen. Noemen we de ene hoek dan is de andere= 2-2/n-. Zie hieronder:


Zelfde tekening als hierboven. Bekijk de rode driehoek:
1/2+1/2+1/2= radialen = 180° , dus
++=2 radialen en
=2--,
omdat =2/n is
=2-2/n-

to the top of the page

gelijke betegelingen


gelijke betegelingen

We beschouwen twee betegelingen als gelijk als we de ene, eventueel na een draaiing of spiegeling of verschuiving en eventueel ook nog na een schaalverandering op de andere kunnen passen. Ook de kleur van de tegels speelt geen rol.

to the top of the page

ééntegelig, tweetegelig, ....,n-tegelig betegelingen


boven: ééntegelig, tweetegelig, onder: drietegelig, drietegelig

 

ééntegelig betegeling (Eng: monohedral) :
alle tegels dezelfde vorm en grootte, dus alle tegels zijn congruent.
tweetegelig:
er zijn twee verschillende tegels en alle tegels zijn congruent met de ene of met de andere.
drietegelig:
er zijn drie verschillende tegels en .....
n-tegelig:
er zijnn verschillende tegels .....

to the top of the page

isometrie, symmetrie, symmetriegroep

Voor het beschrijven en classificeren van betegelingen zijn deze drie begrippen van groot belang. Ze komen veel algemener voor, in allerlei wiskunde theorieën. Ook bij de onderwerpen polyhedra en origami op deze site spelen ze een rol. U vindt ze in het woordenboek: groep, isometrie, symmetriegroep.

to the top of the page

equivalentie en equivalentieklasse


Er is een translatie die tegel 1 op tegel 2 afbeeldt. Deze afbeelding beeldt niet alleen tegel 1 af op tegel 2, maar beeldt de hele betegeling op zichzelf af.

Neem twee tegels T 1 en T2 . We zeggen dat deze twee tegels equivalent zijn wanneer er een symmetrie van de betegeling bestaat, die T 1 op T2 afbeeldt. (Deze symmetrie is dus een element uit de symmetriegroep van de betegeling). Alle tegels die equivalent zijn met T 1 vormen een equivalentie klasse.


Er is geen symmetrie van de betegeling, die tegel 1 op 4 afbeeldt, omdat deze twee tegels dan in ieder geval congruent zouden moeten zijn. Tegel 1 en 4 zijn dus niet equivalent. Tegel 3 en 4 zijn wel equivalent: de verschuiving, die tegel 3 op tegel 4 afbeeldt is een symmetrie van de betegeling. Tegel 3 en tegel 4 ziijn elementen van dezelfde equivalentieklasse. Hoewel tegel 3 en tegel 5 congruent zijn is er geen symmetrie, die tegel 3 op tegel 5 afbeeldt. Geen verschuiving, geen rotatie of spiegeling. Tegel 3 en 5 zijn niet equivalent.

to the top of the page

gelijktegelig (Eng: isohedral)


Dit zijn vier ééntegelige betegelingen. Bij de bovenste twee is er bij ieder tweetal tegels een afbeelding te vinden, die de ene tegel op de ander afbeeldt en gelijktijdig de gehele betegeling op zichzelf. Boven rechts is dat direct duidelijk. ( we letten niet op kleuren!). Bij de linker zijn wat afbeeldingen gegeven. Om tegel 1 op tegel 2 af te beelden kun je spiegelen in lijn en gelijktijdig wordt de betegeling in zijn geheel op zichzelf afgebeeld. Translaties over de vectoren en beelden 3 op 4 en 5 op 6 af en ook de betegeling op zichzelf.
Bij de twee betegelingen onder is het niet mogelijk elke tegel af te beelden op elke andere tegel zonder de betegeling te veranderen. Bij alle bruine en ook bij alle rode tegels kan dat wel. Maar je kan niet tegel 1 op 3 afbeelden (links) of tegel 1 op tegel 2 (rechts) zonder de betegeling als geheel te veranderen.

Wat hierboven staat kan korter worden gezegd: Voor ieder tweetal tegels T1 en T2 uit de betegelingen in de bovenste rij is er een symmetrie van de betegeling, die T1 op T2 afbeeldt. ( Er is maar één equivalentie klasse). Bij de onderste betegelingen zijn er twee equivalentie klassen.

Een betegeling is gelijktegelig (Eng: isohedral) als alle tegels equivalent zijn, dus als er maar één equivalentieklasse is: Nog wat anders gezegd: voor ieder tweetal tegels is er een afbeelding, die de ene tegel op de ander afbeeldt en gelijktijdig de gehele betegeling op zichzelf afbeeldt.

Zijn er meerdere equivalentieklassen dan kunnen we spreken over 2-gelijktegelig, 3-gelijktegelig etc. (Eng: 2-isohedral, 3-isohedral etc)

to the top of the page

In de volgende serie definities gaat het niet om de tegels in een betegeling, maar om de betegelingspunten. Net als bij de tegels kunnen deze ook verdeeld worden in congruentie klassen en equivalentie klassen.

Betegelings figuur


Voor drie betegelingen is hier een betegelingspunt A aangegeven tezamen met alle randen van de betegeling, die in dit punt samenkomen. (nogmaals: een rand is de grens tussen twee tegels!)

Een betegelingspunt tezamen met de randen, die in dat punt samen komen heet een betegelingsfiguur .

to the top of the page

monogonaal

Het is niet zo moeilijk te zien dat in alle drie de betegelingen in de figuur hierboven, ieder punt dezelfde betegelingsfiguur heeft. Anders gezegd alle betegelingsfiguren zijn congruent. Er is dus maar een congruentieklasse van betegelingsfiguren. Deze betegelingen heten: monogonaal.


Nog een monogonale betegeling

Een betegeling is monogonaal als alle betegelings figuren congruent zijn.

to the top of the page

 

isogonaal


Deze betegeling bestaat uit twee soorten regelmatige sterren, tezamen met regelmatige driehoeken. De punten met een rode stip zijn geen betegelingspunten (Waarom niet?), die met een groene stip wel. Iedere grijze ster is af te beelden op iedere andere grijze ster via een verschuiving, terwijl de gehele betegeling afgebeeld wordt op zichzelf ( deze verschuivingen zijn dus elementen uit de symmetrie groep van de betegeling). Met behulp van spiegelingen of draaiïngen zijn de punten van één grijze ster op elkaar af te beelden, terwijl de betegeling op zichzelf wordt afgebeeld. Dit zijn dus ook elementen uit de symmetrie groep van de betegeling. Dus ieder betegelingspunt is af te beelden op ieder ander betegelingspunt door een afbeelding uit de symmetriegroep van de betegeling. We kunnen ook zeggen: de betegelingspunten vormen één equivalentieklasse onder de symetriegroep van de betegeling. Een dergelijke betegeling heet isogonaal.

Een betegeling is isogonaal als de betegelingspunten één equivalentieklasse vormen onder de groep van symmetrieën van de betegeling.

Laten we nog eenmaal bekijken wat dat betekent:
Neem in een betegeling twee willekeurige betegelingspunten, dus punten waar tegels samenkomen. Het moet nu mogelijk zijn om via een verschuiving of een draaing of een spiegeling of of via een samenstelling van deze afbeeldingen, het ene punt af te beelden op het andere en tegelijkertijd moet de hele betegeling afgebeeld worden op zichzelf.

Het vereist enige oefening om te zien of een betegeling isogonaal is


Ieder betegelingspunt in deze betegeling heeft een betegelingsfiguur bestaande uit drie rechte lijnstukjes en een zigzag lijn. Ze zijn congruent. De betegeling is dus monogonaal. Maar het is niet mogelijk om punt A op punt B af te beelden en gelijktijdig de betegeling op zichzelf. De betegeling is dus niet isogonaal.

Stelling

(1) Iedere isogonale betegeling is monogonaal,
maar
(2) niet iedere monogonale betegeling is isogonaal.

Bewijs:

(1)Bij een isogonale betegeling moet iedere betegelingspunt afgebeeld kunnen worden op ieder andere en dus zullen de betegelingsfiguren op zijn minst congruent moeten zijn.
(2) De betegeling in de figuur hierboven geeft een tegenvoorbeeld: hij is monogonaal, maar niet isogonaal.

to the top of the page

Archimedische betegeling

 
Beide betegelingen bestaan uit regelmatige veelhoeken en zijn rand-op-rand. Bij de betegeling links is voor een betegelingspunt de betegelingsfiguur aangegeven. Ga na dat voor alle betegelingspunten de betegelingsfiguren hetzelfde zijn (congruent zijn). Rechts is niet de betegelingsfiguur, maar zijn de verschillende veelhoeken rond een betegelingspunt aangegeven. Dit zijn voor deze betegeling voor ieder betegelingspunt dezelfde veelhoeken. Dat wil zeggen rond ieder punt liggen er evenveel regelmatige veelhoeken van dezelfde soort (hier 3 en 4-hoeken) en in dezelfde volgorde Beide betegelingen zijn Archimedisch.

 

Een betegeling heet Archimedisch als de betegeling monogonaal is en opgebouwd is uit uitsluitend regelmatige veelhoeken en rand-op-rand is.


Om te zien of een betegeling Archimedisch is kunnen we ook kijken naar:"is de betegeling rand-op-rand en liggen rond ieder hoekpunt evenveel regelmatige veelhoeken van dezelfde soort en in dezelfde volgorde". Dit criterium zie je vaak als definitie van een Archimedische betegeling. Ook op deze site zullen we dit criterium regelmatig gebruiken.

Stelling

Er zijn precies 11 verschillende Archimedische betegelingen.

Het bewijs is niet zo belangrijk voor deze site. De elf betegelingen zijn de drie regelmatige vlakverdelingen en de 8 die soms ook halfregelmatige vlakverdelingen worden genoemd.

to the top of the page

Uniforme betegeling


Met behulp van draaiïngen over veelvouden van 60° om M wordt niet alleen de zeshoek, waarvan het middelpunt met M is aangegeven afgebeeld op zichzelf, maar gelijktijdig wordt de gehele betegeling op zichzelf afgebeeld. Dus alle hoekpunten van deze zeshoek, aangegeven door gele stippen, kunnen op elkaar worden afgebeeld door middel van een symmetrie van de betegeling. Met behulp van verschuivingen kan dezelfde zeshoek afgebeeld worden op iedere andere zeshoek. Ook deze verschuivingen laten de betegeling invariant en zijn dus isometrieën uit de isometriegroep van de betegeling. Ieder betegelingspunt is ook een hoekpunt van een of andere zeshoek en we kunnen dus via een draaiïng eventueel gevolgd door een verschuiving, ieder betegelingspunt afbeelden op ieder ander beegelingspunt via een afbeelding uit de symmetriegroep van de betegeling. De betegeling is dus isogonaal en verder rand-op-rand en opgebouwd uitsluitend uit regelmatige veelhoeken. Een dergelijke betegeling heet uniform.


Deze betegeling bestaat uit regelmatige veelhoeken, nl. vierkanten. Alle hoekpunten van de tegels zijn betegelingspunten, want het zijn eindpunten van randen van de betegeling. Je kunt iedere tegel op iedere andere tegel afbeelden door een verschuiving, die ook de gehele betegeling op zichzelf afbeeldt. (Deze verschuivingen zijn dus elementen uit de symmetriegroep van de betegeling). Met de spiegelingen in de witte lijnen kun je ieder hoekpunt van één tegel op ieder ander hoekpunt van die tegel afbeelden. Ook hierbij wordt de gehele betegeling op zichzelf afgebeeld. ( Het zijn dus ook elementen uit de symmetriegroep van de betegeling). Dus ieder betegelingspunt kan met behulp van een afbeelding uit de symmetriegroep van de betegeling worden afgebeeld op ieder ander betegelingspunt. Of anders gezegd de betegelingspunten vormen één equivalentie klasse onder de symmetriegroep van de betegeling. En nog korter gezegd: de betegeling is isogonaal. De betegeling is niet uniform, omdat de betegeling niet rand-op-rand is.

Een betegeling is uniform als de betegeling isogonaal is, rand-op-rand, en opgebouwd uit uitsluitend regelmatige veelhoeken.

to the top of the page

Krötenheerdt betegeling

Een betegeling wordt een Krotenheerdt betegeling genoemd als de betegeling zowel Archimedisch als uniform is.

to the top of the page

Een uniforme betegeling is Archimedisch. Want een dergelijke betegeling bestaat uit regelmatige veelhoeken en is isoganaal, dus zeker monogonaal.

Andersom, wanneer je voor alle 11 Archimedische betegelingen onderzoekt of ze isogonaal zijn (een goede oefening) blijkt dat in alle gevallen het geval te zijn.

Er is dus geen verschil tussen de verzameling Archimedische betegelingen en de uniforme betegelingen. Er is dus niet echt behoefte aan twee begrippen. Dat wordt echter anders wanneer we de beide begrippen op een voor de hand liggende manier uitbreiden:

Bij zowel monogonale als isogonale betegelingen is er precies een equivalentieklasse van betegelingspunten. In het ene geval doordat alle betegelingsfiguren congruent zijn en in het andere omdat ieder betegelingspunt via een afbeelding uit de groep van symmetrieën van de betegelingen af te beelden is op ieder ander betegelingspunt.
Maar dan kun je natuurlijk ook kijken naar betegelingen met 2 of 3 of 4 .... equivalentieklassen, zowel bij de uniforme als bij de Archimedische betegelingen. Dus dan vallen de betegelingspunten in 2,3,4, ... verzamelingen uiteen. In het monogonale geval zijn de betegelingspunten in iedere verzameling congruent, bij isogonaal zijn alle betegelingspunten in een verzameling op elkaar af te beelden via een symmetrie van de betegeling.

We hebben nu ook de volgende definities

k-Archimedisch

Een betegeling is k-Archimedisch als er k congruentie klassen zijn van betegelingsfiguren ( en opgebouwd is uit regelmatige veelhoeken en rand-op-rand is).

k-uniform

Een betegeling is k-uniform als er k equivalentieklassen van betegelingspunten zijn (en opgebouwd is uit regelmatige veelhoeken).

k-Krötenheerdt

Een betegeling is k-Krötenheerdt als de betegeling zowel k-uniform als k-Archimedisch is.

to the top of the page

Om verwarring te voorkomen definiëren we ook:

Uniforme sterbetegeling


Deze betegeling bestaat uit regelmatige veelhoeken (driehoeken) en regelmatige sterren. Merk op dat zowel de sterpunten als de stertanden betegelingspunten zijn. D.m.v verschuivingen uit de symmetriegroep van de betegeling is iedere driehoek af te beelden op iedere andere driehoek. Rotaties van 120° en 240° rond het middelpunt van een driehoek zijn ook elementen uit de symmetriegroep van de betegeling. Hiermee kunnen de hoekpunten van iedere driehoek op elkaar worden afgebeeld. Dus ieder betegelingspunt kan worden afgebeeld op ieder ander betegelingspunt met behulp van een afbeelding uit de symmetriegroep van de afbeelding. Anders gezegd: de betegelingspunten vormen één equivalentieklasse onder de symmetriegroep van de betegeling. Nog anders: deze betegeling is een isogonale betegeling. Een dergelijke betegeling noemen we een uniforme sterbetegeling.

Een uniforme sterbetegeling is een isogonale betegeling opgebouwd uit regelmatige veelhoeken en regelmatige stertegels.

Bij deze betegelingen eisen we niet dat ze rand-op-rand zijn. We doen dit om "in line" te zijn met Joseph Myers: Tiling with regular starpolygons. In dit artikel claimt Joseph Meyers een volledige opsomming van dergelijke betegelingen te geven. Hij geeft alleen een schets van het bewijs. Alle 29 betegelingen kunt u zien op de pagina's uniforme sterbetegelingen 1 en uniforme sterbetegelingen 2.


Een betegeling met regelmatige veelhoeken en regelmatige sterren. De betegelingspunten zitten in meerdere equivalentieklassen. Hoeveel?

k-uniforme sterbetegeling

Een k-uniforme sterbetegeling is een betegeling opgebouwd uit regelmatige veelhoeken en regelmatige stertegels, waarbij de betegelingspunten onder de groep van symmetrieën van de betegeling opgedeld worden in k equivalentie klassen.

to the top of the page

Periodieke betegelingen

Een betegeling is periodiek als de gehele betegeling opgebouwd kan worden uit een eindig deel van de betegeling met behulp van verschuivingen.

Niet periodieke betegelingen

betegelen met regelmatige vijfhoeken en ruiten 5
Door steeds een rand van regelmatige vijfhoeken en ruiten toe te voegen kun je zien dat dit een betegeling is, d.w.z het gehele vlak opvult. Anders als bij veel betegelingen op deze website kunnen we deze betegeling niet zo verschuiven, dat de verschoven tegels precies samenvallen met het oorspronkelijke patroon. Er is wel een centrum, namelijk het midden van de blauwe tegel. Door de betegeling over een veelvoud van 72 graden rond dat centrum te draaien kunnen we wel precies dezelfde betegeling terug krijgen.

1. Met centrale symmetrie

Er zijn betegelingen zonder verschuivingen in de symmetriegroep van de betegeling, maar wel met draaiingen rond één punt en mogelijk ook spiegelingen in lijnen door dat punt. Deze betegelingen heten betegelingen met centrale symmetrie.

2. De symmetriegroep van de betegeling bestaat alleen uit de identiteit

Er zijn dus geen spiegelingen, rotaties, translaties, die de betegeling op zichzelf afbeelden.


Deze betegeling is opgebouwd uit drie verschillende driehoeken. Er zijn geen spiegelingen of draaiïngen of translaties, die de betegeling op zichzelf afbeelden. Er geldt nog iets sterkers: met behulp van alleen deze driehoeken is het onmogelijk om een betegeling te maken, die periodiek is. Een dergelijke betegeling heet a-periodiek. Op deze website komen dergelijke betegelingen niet aan de orde.

3. A-periodieke betegelingen.

Dit zijn ook niet periodieke betegelingen, waarvoor er geen draaiïngen, spiegelingen, rotaties bestaan, die de betegeling op zichzelf afbeeldt. Er is echter nog een bijzonderheid. Met behulp van de (eindige) verzameling tegelvormen, waarmee de betegeling is opgebouwd is het niet mogelijk om een periodieke betegeling op te bouwen.

Dit type betegeling heeft de laatste tientallen jaren veel aandacht gekregen. De bekendste betegelingen zijn de Penrose betegelingen.

naar begin pagina

home>betegelingen>definities en terminologie
©jos hendriks, 2008-2016