kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>betegelingen>uniforme sterbetegelingen english soon

uniforme sterbetegelingen

!!Opm: Om de toelichtingen hieronder te kunnen volgens is het absoluut noodzakelijk de pagina definities en terminologie te bestuderen. En eventueel de links in die pagina naar het woordenboek. Ik garandeer u dat dit uiterst fundamenteel en leerzaam is en het geeft een goed inzicht in het feit dan een zeer groot deel van wiskunde bedrijven bestaat uit het zoeken naar en het formuleren van definities.

Uniforme sterbetegelingen zijn betegelingen met regelmatige tegels tezamen met regelmatige stertegels. Er is slechts één equivalentie klasse van betegelingspunten onder de groep van de isometrieën (de symmetriegroep) van de betegeling. De betegeling is dus isogonaal.

Grünbaum en Shepherd zijn de eersten, die in hun boek "Tilings and patterns", een opsomming geven van alle mogelijke uniforme sterbetegelingen. Volgens hen was de opsomming volledig. Joseph Myers vond echter 3 betegelingen, die niet in hun opsomming voorkomen. In zijn paper geeft hij een "outline" van het bewijs. De start van een verhaal alla betegelingen met één vijfhoek?

Joseph Myers geeft 29 betegelingen. Ze vallen in drie groepen uiteen. De eerste groep bestaat uit 6 betegelingen, die niet "rand-op-rand" zijn. Hieronder zijn ze alle zes. Eerst wat toelichting:

Deze betegeling bestaat uit regelmatige zeshoeken in twee groottes en een zespuntige stertegel. De punten met een paarse stip en ook die met een blauwe stip zijn geen betegelingspunten omdat het geen eindpunten van een rand zijn. De punten met de rode stip zijn betegelingspunten. Bij alle betegelingspunten liggen er rondom dat punt een kleine zeshoek, een grote zeshoek en een stertegel.

Als we naar de zes betegelingspunten met een rode stip kijken kunnen we direct zien dat met behulp van verschuivingen iedere zespuntige ster afgebeeld kan worden op iedere andere ster en tegelijkertijd de gehele betegeling op zichzelf. Deze verschuivingen zijn dus elementen uit de symmetriegroep van de betegeling en "overeenkomstige" sterpunten van de stertegel zijn equivalent.

Kijken we nu naar de witte lijnen. Spiegelingen in deze lijnen beelden de gehele betegeling af op zichzelf en deze spiegelingen zijn dus ook elementen uit de symmetriegroep van de betegeling. Met behulp van deze spiegelingen kan ieder sterpunt van één stertegel op ieder sterpunt van diezelfde tegel worden afgebeeld. We concluderen dat ieder sterpunt uit de betegeling afgebeeld kan worden op ieder ander sterpunt uit de betegeling, door middel van afbeeldingen uit de symmetriegroep van de betegeling. Dus alle sterpunten, en dat zijn alle betegelingspunten, zijn equivalent. De betegeling is isogonaal en, omdat hij is opgebouwd uit regelmatige tegels en regelmatige stertegels, uniform.

Via gelijksoortige redeneringen is na de gaan dat ook de andere vijf betegelingen uniforme sterbetegelingen zijn. Deze zes betegelingen hebben tegels met verschillende lengtes van de zijden. Zo heeft de eerste betegeling kleine zeshoeken en zeshoeken, die drie keer zo groot zijn.

 

Er is voor deze betegelingen geen Schläfli- achtige notatie mogelijk.

Stertand als betegelingspunt

De volgende zes betegelingen hebben een stertand als betegelingspunt. Eerst wederom wat toelichting:

B is een sterpunt van de 4-puntige stertegel en een stertand van de 8-puntige stertegel. B is geen betegelingspunt. Om in te zien dat deze betegeling uniform is, kunt u kijken naar ofwel de punten met een groene stip, ofwel de punten met een oranje stip. Kijken we naar de punten met een groene stip dan kunnen we als volgt redeneren: Deze vier punten zijn op elkaar af te beelden door draaiïngen over veelvouden van 90° rond het middelpunt van de vierpuntige stertegel, waar ze deel van uitmaken. Deze draaiïngen zijn elementen uit de symmetriegroep van de betegeling. Door dat iedere vierpuntige stertegel afgebeeld kan worden op iedere andere vierpuntige stertegel middels een verschuiving, die ook in de symmetriegroep van de afbeelding zit, kan ieder betegelingspunt worden afgebeeld op ieder ander betegelingspunt via een draaiïng, die eventueel nog gevolgd wordt door een verschuiving. En deze draaiïngen of draaiïngen gevolgd door een verschuiving zijn allemaal elementen van de symmetriegroep van de betegeling omdat ze de betegeling als geheel invariant laten.

Via soortgelijke redeneringen kunt u van alle betegelingen hieronder nagaan dat ze uniform zijn.

 

Deze betegelingen, hebben op zichzelf al esthetische kwaliteiten. Ze kunnen ook als basis dienen voor verdere bewerking met verschillende technieken, die op deze site besproken worden.

Stertand geen betegelingspunt

De 17 uniforme sterbetegelingen (volgens Joseph Myers) , waarbij stertanden geen betegelingspunten zijn.

(Ga na). De betegeling hierboven bestaat uit regelmatige driehoeken en twaalfpuntige regelmatige stertegels. De stertanden zijn geen punten van de betegeling omdat het geen eindpunten zijn van de grenslijn van twee tegels. Rond alle betegelingspunten liggen 3 driehoeken, dan een stertegel, dan 2 driehoeken en tenslotte nog een stertegel. De hoeken bij de sterpunten zijn dus 30° =1/6 Pi .{ (360-5*60)/2=30}.
We noteren deze punten, met behulp van een uitbreiding van het Schläfli symbool als {3, 3, 3, 12*Pi/6 ,3, 3, 12*Pi/6 } of korter {33 , 12*Pi/6, 32 }.

De 12*Pi/6 geeft de 12 puntige ster aan. Het sub-schrift is de (binnen)hoek bij de sterpunt.

Als je naar de tekening boven kijkt zie je direct dat je, met behulp van een verschuiving, iedere ster op iedere andere ster kan afbeelden, terwijl tegelijkertijd de gehele betegeling om zichzelf wordt afgebeeld. Deze verschuivingen zijn dus elementen uit de symmetriegroep van de betegeling. De witte lijnen zijn spiegellijnen.De spiegelingen in deze lijnen beelden ook de gehele betegeling op zichzelf af en zijn dus ook elementen uit de symmetriegroep van de betegeling. Met behulp van deze spiegelingen kan ieder sterpunt van een stertegel op ieder ander sterpunt van die tegel worden afgebeeld. Met de verschuivingen kunnen overeenkomstige sterpunten van twee stertegels op elkaar worden afgebeeld. Kortom iedere sterpunt, dus iedere betegelingspunt, kan op ieder ander sterpunt worden afgebeeld. De betegeling is dus isogonaal en omdat hij geheel is opgebouwd uit regelmatige tegels en stertegels uniform.

Op een soortgelijke wijze kun je alle betegelingen op deze bladzijde onderzoeken. (Hetgeen een goede oefening is in het vinden van symmetrieën van een betegeling).


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling. Je kunt in deze figuur ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling. Hier dus #stertegels: #driehoeken= 1:12


{ 33 , 12*Pi/6 , 32 }

 


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 32 , 8*Pi/12 , 3 , 4 , 3 , 8*Pi/12 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 3, 4, 6 , 3 , 12*Pi/6 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 3 , 4 , 8 , 3 , 8*Pi/12 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 92 , 6*4Pi/9 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 122 , 4*Pi/3 }

 

Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 182 , 3*2Pi/9 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 6 , 6*Pi/36 , 6*Pi/3 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 8 , 3*Pi/12 , 8 , 3*Pi/12 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 8 , 4*Pi/4 , 8 , 4*Pi/4 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 12 , 3*Pi/6 , 12 , 3*Pi/6 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 3 , 9 , 3*Pi/9 , 9 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{3 , 6 , 6*Pi/3 , 6 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 4 , 6*Pi/6 , 4 , 6*Pi/6 , 4 , 4*Pi/6 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 3 , 42 , 6*Pi/6 , 4 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 4 , 6 , 4*Pi/6 , 6 }


Door dit patroon, via verschuivingen, te herhalen, krijg je de betegeling: Je kunt hierin ook gelijk de verhoudingen zien van de aantallen verschillende tegels in de betegeling.


{ 52 , 4*Pi/10 , 5 , 4*Pi/10 }

 

 

naar begin pagina

home>betegelingen>uniforme sterbetegelingen
©jos hendriks, 2008-2016