kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>betegelingen> isometrieenglish soon

Isometrisch perspectief ontwerpen

Kijken we om ons heen dan zien we de dingen anders dan ze in werkelijkheid zijn. Een lange rechte weg lijkt steeds smaller te worden, terwijl deze in werkelijkheid even breed blijft. Wanneer we iets naar de werkelijheid tekenen maken we gebruik van perspectief, niet omdat dat de werkelijkheid weergeeft, maar omdat een tekening dan meer in overeenstemming is met wat we zien. 

Architekten en ontwerpers zullen liever gebruik maken van een tekenmethode die meer in overeenstemming is met de realiteit. Zij willen graag tekeningen waarbij de verhoudingen van de lengtes overeenstemmen met de werkelijkheid en tekeningen waarop lijnen die in de werkelijkheid evenwijdig lopen ook op de tekening evenwijdig zijn. Deze methode van weergave heet parallel perspectief. 


Beide kubussen zijn in parallel perspectief. Bij de linker kubus zijn de horizontale en verticale richting in de werkelijkheid ook de horizontale en verticale richting in de tekening. De derde richting (diepte) is verkort weergegeven. De maten en hoeken in vlakken, die evenwijdig lopen met het vlak van tekening zijn correct. In vlakken, die daar loodrecht op staan echter niet.
Bij de rechter kubus zijn alle lengtes correct, maar geen enkele hoek komt overeen met de werkelijkheid. De manier van tekening heet isometrisch (parallel) perspectief.


Bij isometrisch perspectief worden alle lijnen in slechts drie richtingen getekend, onder hoeken van 120°.


In rood de omtrek van de tekening van de kubus: een regelmatig zeshoek en dus is de kubus vlakvullend .


De vlakvulling met de kubusjes. Een bekend fenomeen. Als je enige tijd naar deze tekening kijkt dan lijkt de richting waarin de kubussen liggen te veranderen.


Met drie kleuren en twee standen van de kubussen kun je 12 verschillende kubussen maken, die je in één vlakvulling kan combineren. Wie weet komt er in een of andere combiatie iets leuks uit.


Dit is er eentje.


Je kunt de rode gelijkzijdige driehoek eruit lichten en met gelijkzijdige driehoeken kan je natuurlijk ook het vlak opvullen:


Er zijn verschillende strategieën mogelijk om met behulp van isometrisch ontwerpen vlakvullingen te maken.

We kunnen beginnen met een kubus, waar een deel van is weggehaald.


Hier is een deel van de kubus weggehaald en vervolgens zijn er drie ten op zichte van elkaar gedraaide copieën tegen elkaar aangeschoven. Daarna is het vlak ermee opgevuld:


to the top of the page

We tekenen gebroken lijnen op de zichtbare zijden van een kubus:

Hierdoor wordt een mogelijke verdeling van de kubus in twee stukken bepaald:

Wanneer we het voorste stuk weghalen, zien we hoe het achterste stuk eruit ziet:

De contouren van dit stukje vormen net geen regelmatige zeshoek. Als je ze tegen elkaar schuift blijft er een gat:

Dit gat is wel een regelmatige zeshoek en kan dus netjes opgevuld worden met een kubusje:

Met de volgende betegeling als resultaat:

to the top of the page

Je kunt van het ingevoegde kubusje ook de contouren wegpoetsen en de vlakjes laten aansluiten op de omliggende vlakjes:

Dat geeft deze vlakverdeling:

Je kunt natuurlijk ook de zeshoek toevoegen met een enigzins bevreemdend resultaat:

to the top of the page

Als je het voorste stuk van dezelfde verdeling van de kubus draait, zie je dit:

Je kunt ze op deze manier in elkaar schuiven:

En zo kom je tot deze vlakverdeling:

Nog meer ideën

Eerst nog een voorbeeld waarbij begonnen is met een kubus. Daar wordt op alle acht de hoekpunten een kubusje van weg gehaald.


Kubus waarbij op alle hoekpunten een kubusje met ribbe 1/4 van de oorspronkelijke kubus is weggehaald.


Drie van deze kubussen laten alleen één zeshoek vrij.


Je kunt deze zeshoek bijvoorbeeld opvullen met nog een kubusje.


En dan een vlakvulling maken.

to the top of the page

De ontwerpen hoeven natuurlijk niet tot vlakvullingen gemaakt te worden. Isometrisch ontwerpen kan leuke en/of intrigerende op zichzelf staande ontwerpen opleveren.


Hier zijn een paar kubusjes in de uitsparingen geplaatst.

De volgende series tekeningen geven nog meer ontwerp ideeën.


verlengde zeshoek- verlengde kubus.


De verlengde zeshoek-verlengde kubus geeft ook een vlakvulling.


Je kunt uitsparingen maken in de verlengde zeshoek en deze dan op allerlei manieren draaien en schakelen.

 


Nog een voorbeeld van de verlengde kubus met uitsparing. Ook dit ontwerp veranderd als je er langer naar kijkt.

to the top of the page


Op deze manier kun je een trap piramide maken.


Die, over 60° en 120° gedraaid en daarna tegen elkaar aangeschoven, een "getrapte" driehoek vormen.


Een vlakvulling met de "getrapte" piramides. Tamelijk intrigerend als je goed kijkt.


De "getrapte" piramides bovenop kubussen?

to the top of the page

 


Tegeltjes en korte staafjes. De ordening van de tegeltjes rechts doen mij denken aan een fractaal. Dat wordt hieronder nog wat duidelijker.


Een mooi beeld van de Sierpinski driehoek. Voordurend verrast wiskunde je op deze manier. Je beland regelmatig van het ene wiskunde onderdeel in een ander onderdeel.


Een beetje anders geordend geven de tegels ook weer een mooi beeld.


 

 

to the top of the page

naar begin pagina

home>betegelingen>ontwerpen via isometrie
©jos hendriks, 2008-2016