kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>fractalen>Koch fractaal english soon

wat zijn fractalen 1

eerste constructie voorbeeld: de Koch kromme

eerste stap:

tweede stap:

derde stap:

vierde stap:

Na deze vierde stap kan er natuurlijk een vijfde volgen, en een zesde en een zevende en ..... Je kunt eindeloos doorgaan. De tekening wordt steed fijner en fijner. De veranderingen in de tekening steeds kleiner en kleiner. Je kunt je misschien voorstellen dat de tekening toe groeit naar een object, een figuur. Dit object noemen we een fractaal.

Intermezzo: een ietsjepitsie over het begrip limiet.

We nemen de rij getallen 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5,...........We kunnen deze rij als maar voortzetten. Er komt nooit een einde aan. We kunnen hem nooit helemaal opschrijven, deze rij is oneindig lang. De getallen zelf in de rij woden steeds kleiner en kleiner en komen steeds dichter bij het getal nul. Dat getal nul is voor de rij een grens. Twee zaken zijn hier van belang: je kunt, door maar ver genoeg in de rij getallen te gaan willekeurig dichtbij 0 komen en je komt als je verder gaat er ook niet meer vandaan. We zeggen nul is de limiet van de rij.

Bij de rij tekeningen, hierboven, is iets dergelijks aan de hand. Ze groeien ook naar iets toe, waar ze steeds dichterbij komen. Het verschil met de rij getallen is dat de limiet daar, het getal 0, een voor een ieder vertrouwd en bekend wiskundig begrip is. Bij de rij tekeningen hierboven is dat niet het geval. Ze groeien naar wat nu de Koch kromme heet. Een fractaal, een object met andere eigenschappen als iedere tekening uit de rij tekeningen.

De Koch kromme zelf is nooit te tekenen. De kromme heeft een aantal eigenschappen, die dat duidelijk onmogelijk maken. De kromme is bijvoorbeeld oneindig lang en bevat, anders als de tekeningen, die hem benaderen, geen rechte lijnstukjes.

We zullen, zoals vrijwel overal op het net gebruikelijk is de tekeningen, die de fractaal benaderen, ook aanduiden met het woord fractaal. Het lijkt mij echter zinvol om te weten dat het eigenlijke object, en dat geldt voor alle fractalen, nooit getekend kan worden.

Even terug naar de bovenstaande tekeningen, hieronder verkleind weergegeven:

we noemen deze tekeningen de Kochkromme van de 0de orde van de 1ste orde, 2de orde en 3de orde

De 3de orde Koch kromme (rechts) bestaat uit 4 (verkleinde) copieën van de de kromme van de 2de orde (links). Voor iedere orde geldt dat het vier copieën zijn van de voorgaande orde.

Nog eens de kromme van de derde orde. Hij bestaat dus uit vier copieën van de tweede orde. Twee zijn er blauw gekleurd. Maar er zijn ook copieën van iedere lagere orde. Van de 1ste orde, de rode in de tekening en van de 0de orde , de groene.

 

Hierboven een plaatje van de Kochkromme van de zevende orde. Er zijn dan al zoveel lijnstukjes, dat alle details niet meer zichtbaar zijn ( het oplossend vermogen van het beeldscherm is veel te klein). Als we nu het bovenste stuk eruit lichten en vergroten, dan

krijgen we precies hetzelfde plaatje terug.

Dergelijke gelijkvormigheden ( een deel van het plaatje is een copie van het hele plaatje) zijn kenmerkend voor alle fractalen en voor de benaderingen , die we kunnen tekenen. Gelukkig zijn er veel fractalen, waarbij de gelijkvormigheid niet exact is, maar vervormd, waardoor hele interressante fractaaltekeningen gemaakt kunnen worden.

 

samenvatting

U hebt kennis gemaakt met de Kochkromme, een fractaal. De kromme zelf is nooit te tekenen, maar u heeft een methode gezien om steeds verfijndere benaderingen te tekenen. Vergrotingen van delen van de (benaderingen) van de kromme leveren nieuwe details op en leveren geen simpeler plaatjes op. We zien ook gelijkvormigheden: een deel van het geheel is hetzelfde als het geheel en ook zijn in iedere orde benadering, benaderingen van een lagere orde te vinden.

Dit soort eigenschappen zijn kenmerkend voor fractalen.

Toetsing

  1. uit hoeveel lijnstukjes bestaat de 2de orde benadering van de Kochkromme?
    En de 3de en de zevende?
  2. we starten met een recht lijnstuk.(0de orde) en vervangen dit door vier lijnstukjes onder hoeken van 90°(1ste orde):


links 0de orde, rechts 1ste orde

welke tekening ontstaat als we nu ieder lijnstuk uit de 1ste orde vervangen door een copie van de 1ste orde?

antwoorden

naar begin pagina

home>fractalen>Koch fractaal
©jos hendriks, 2008-2016