kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>fractalen>Sierpinski tapijtenglish soon

Sierpinski tapijt

Eng: "Sierpinski carpet".

Er is nog een fractaal, die genoemd is naar Sierpinski. Hoewel de constructie erg lijkt op de Sierpinski driehoek, gaan we er toch eens naar kijken. Hoe meer voorbeelden, hoe meer iets beklijft. Daarbij gaan we ook wat dieper in op methoden om fractalen zichtbaar te maken op het beeldscherm.

Hieronder de eerste vier ordes van het tapijt. Hoe het dan verder gaat snapt u dan wel.

nulde en eerste orde van het Sierpinski tapijt
nulde en eerste orde van het Sierpinski tapijt.

tweede en derde orde van het Sierpinski tapijt
tweede en derde orde van het Sierpinski tapijt

Net zo als bij de Sierpinski driehoek zijn er nu weer een aantal afbeeldingen, die uitgevoerd op de 0de orde de 1e orde geven, uitgevoerd op de 1e orde de 2de orde geven, etc.

Bij het Sierpinski tapijt zijn het niet drie maar acht afbeeldingen. Hier zijn er twee:

A: (x1,x2 ) ( x1,x2)

B: (x1,x2 ) ( x1,x2)+( ,0)

Welke zijn de andere?

Bij de tekeningen hierboven zijn we begonnen met het tekenen van een vierkant. En hebben vervolgens de acht afbeeldingen op de hoekpunten van het vierkant uitgevoerd, waarna de acht beelden (ook weer vierkanten) op het scherm werden getekend. Maar evenals bij de Sierpinski driehoek maakt het niet uit met welke figuur we beginnen. Als we maar voldoende ordes uitrekenen zal het Sierpinski tapijt op het beeldscherm verschijnen. We kunnen dus ook met één punt (één pixel) beginnen. We passen de acht afbeeldingen toe op dat punt en krijgen dan acht punten. Vervolgens passen we de acht afbeeldingen toe op deze acht punten en krijgen zo 64 punten. Vervolgens ......

Deze methode heeft echter een groot nadeel. Om de punten van b.v de 7de orde uit te rekenen hebben we alle punten van de 6de orde nodig. Dan moeten we 8^6=262144 punten onthouden. Hoewel dat voor de huidige computers goed te doen is, kun je de problemen zien aankomen als je veel hogere ordes wilt uitrekenen of wanneer er fractalen zijn met veel meer dan 8 afbeeldingen.

Maar er is een andere mogelijkheid:
We beginnen weer met één punt en kiezen, willekeurig, één van de acht afbeeldingen en berekenen het beeld van dat punt. Vervolgens kiezen we, weer willekeurig, een van de acht afbeeldingen en berekenen het beeld van het net gevonden punt. Zo gaan we door. Telkens kiezen we willekeurig een van de afbeeldingen en passen die toe op het laatste berekende punt. Op deze manier hoeven we maar één punt te onthouden. Hieronder zie je waar deze methode toe leidt:

Nadat de coördinaten van 1000 punten zijn berekend.
Nadat de coördinaten van 1000 punten zijn berekend.

Nadat de coördinaten van 10000 punten zijn berekend.
Nadat de coördinaten van 10000 punten zijn berekend.

Nadat de coördinaten van 300000 punten zijn berekend.
Nadat de coördinaten van 300000 punten zijn berekend.

Het Sierpinski tapijt komt er wat minder fraai uit als hierboven. Dat komt omdat het oplossend vermogen van het beeldscherm niet zo groot is, zodat er voordurend fors moet worden afgerond.

Dat deze methode überhaupt werkt is ook te danken aan een van de fraaiste en wonderlijkste stellingen die ik ken. Laten we nog eens op een iets andere manier naar bovenstaande proces kijken. We beginnen met een punt van het Sierpinski tapijt, b.v het punt (1,1), en berekenen,via een van de acht afbeeldingen een tweede punt van het tapijt. Vervolgens een derde punt, via een van de andere afbeeldingen of dezelfde afbeelding en vinden een derde punt van het tapijt. Zo krijgen we een willekeurig lange rij punten, allemaal punten van het tapijt. We noemen dit ook wel een baan van het punt (1,1).

Hier een voorbeeld van zo'n baan met de eerste 10 punten:

{{1,1},{0.900218, 0.725324}, {0.633406, 0.241775}, {0.544469, 0.747258}, {0.18149,0.582419}, {0.727163, 0.527473}, {0.909054, 0.175824}, {0.303018, 0.0586081}, {0.434339, 0.019536}, {0.811446, 0.00651201}, {0.603815, 0.668837}}

Nu is dit niet de echte baan, maar de berekende baan. Bij de echte baan liggen de punten precies op het tapijt, maar bij de berekening van deze punten worden afrondingen gemaakt en vervolgens wordt met de afrondingsfout verder gerekend. Het nare van afrondingsfouten en het ermee verder rekenen is dat de fouten dan steeds groter (kunnen) worden. Uiteindelijk kunnen de berekende punten ver van de fractaal komen te liggen. Maar gelukkig is er de stelling waar ik hierboven op doelde.

Schaduw stelling (informeel)

Hoe ver de berekende punten in de baan van een punt ook van het Sierpinski tapijt (en andere soortgelijke fractalen) af komen te liggen, er is altijd een andere "echte" baan , waarvan de punten dicht bij de berekende baan liggen.

De stelling en het bewijs zijn van Barnsley. Je vindt ze in zijn boek "The beauty of fractals". Dit boek, hoewel je dat niet uit de titel af leest, is een standaard werk over fractals. Je moet voor het grooste deel toch minimaal een jaar universitaire wiskunde studie hebben gehad om het te kunnen volgen en voor het laatste deel van het boek nog wel wat meer.

Er bestaat ook een driedimensionaal equivalent van het Sierpinski tapijt. Deze fractal heet de Menger spons (Eng: Menger Sponge). Hieronder twee plaatjes.

De Menger spons
De Menger spons.

Inzoomen op de Menger spons
Inzoomen op de Menger spons.

naar begin pagina

home>fractalen>Sierpinski tapijt
©jos hendriks, 2008-2016