kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>getaltheorie>voorbij 3x+1 english soon

voorbij 3x+1

opm: Voor een goed begrip kan het handig zijn eerst de pagina 3x+1 te bekijken

Eind 1982 schafte ik een Commodo64 aan. Dat was een van de eerste personal computers. De mogelijkheden van deze PC zijn onvergelijkbaar met die van de huidige PC's. Desalniettemin was het toen een juweeltje. Je had de beschikking over een zeer eenvoudige tekstverwerker en een simpele programmeer taal. Je kocht geen programma's, je schreef ze. Zo ben ik dagen lang zoet geweest met een programmaatje, waarmee je via het toetsenbord muziekschrift kon maken.

In diezelfde periode hoorde ik voor het eerst iets over het 3x+1 vermoeden. Natuurlijk moest ik dat ook even voor wat waarden van n berekenen. Dit leidde al snel tot problemen. In de basis instructie set van eigenlijk iedere computer taal en die van de chips zelf, zijn gehele getallen groter dan 2^16 ( 65536) niet mogelijk. Door een getal als 123456789 om te zetten in het woord 123456789, dit in stukken te breken, daarmee te rekenen en vervolgens het resultaat weer aan elkaar te plakken, lukte het me te rekenen met willekeurig grote natuurlijke getallen. Maar ook dan ben je snel klaar. Anderen, op grote "mainframes" hadden al tot zo 10^14 nagegaan dat de reeks altijd op 1 eindigde.
Ik ging op zoek naar gelijksoortige reeksen. En vond de volgende oneindige serie:

(opm: Het kan lastig zijn om de definitie hieronder direkt te volgen. Je kunt ook eerst het voorbeeld eronder bekijken)

Voor iedere p en q, waarbij p bij deling door 4 een rest 3 geeft en q bij deling door 4 een rest 2 oplevert, bekijken we voor iedere n
de volgende reeks:

het eerste getal is S0 en S0=n.

De andere getallen in de reeks construeren we, op eenzelfde manier als bij de 3x+1 serie, namelijk uit het voorgaande getal in de reeks:

Si = Si-1 /4 als Si-1 deelbaar is door 4
Si = Si-1 5 + p als Si-1/4 rest 1 oplevert
Si = Si-1 7 + q als Si-1/4 rest 2 oplevert
Si = Si-1 5 + 1 als Si-1/4 rest 3 oplevert

Voorbeeld

We hebben twee rijen getallen. De ene is : {3,7,11,15,19,23,27..........} en de andere is {2,6,10,14,18,22,26,.........}. We kiezen één getal uit de eerste rij en één getal uit de tweede rij. Deze noemen we p en q. Voor dit voorbeeld nemen we de eerste getallen uit de twee rijen dus we kiezen p=3 en q=2. Vervolgens gaan we voor de getallen {2,3,4,5,6,7,8,9,........} een rij construeren. We beginnen met 2 en noemen dit getal n. Als we n door 4 delen dan is er een rest 0 of 1 of 2 of 3. In het eerste geval,bij n=2 is de rest 2. Nu is er bij iedere rest een regel om een nieuw getal te genereren. Bij rest 2 is dat: vermenigvuldig n met 7 en tel er q, in dit geval 2, bij op. We krijgen dus 7x2+2=16. Met dit nieuwe getal kijken we weer naar de rest bij deling door 4. Bij rest 0 delen we gewoon door 4, dus 16/4=4. Dit nieuwe getal heeft ook rest 0, dus 4/4=1 en we stoppen. De reeks bij n=2 is dus {2,16,4,1}.
Nu n=3. Eerste keer is er een rest 3 bij deling door 4. Ðe regel is dan vermenigvuldig met 5 en tel er 1 bij op: 35+1=16. Bij 16 is er een rest 0, dus we krijgen 16/4=4 en weer een rest 0 en 4/4=1 en we stoppen. De reeks is {3,16,4,1}.
n=4 geeft {4,1}
n=5 geeft eerst rest 1. De regel bij rest 1 is vermenigvuldig met 5 en tel er p, hier dus 3, bij op. Dit geeft 55+3=28. Dan 28/4=7. Dan is er een rest 3. We moeten dan met 5 vermenigvuldigen en er 1 bij optellen: 75+1=36. Vervolgens krijgen we rest 0 en 9, rest 1 en 48, rest 0 en 12, rest 0 en 3 , rest 3 en 16, rest 0 en 4, rest 0 en 1 en dus de serie (5,28,7,36,9,48,12,3,16,4,1}
Hieronder nog de series voor n=2,3,4,......10 :

n serie lengte
2
2
16
4
1
3
3
3
16
4
1
3
4
4
1
1
5
5
28
7
36
9
48
12
3
16
4
1
10
6
6
44
11
56
14
100
25
128
32
8
2
16
4
1
13
7
7
36
9
48
12
3
16
4
1
8
8
8
2
16
4
1
4
9
9
48
12
3
16
4
1
6
10
10
72
18
128
32
8
2
16
4
1
9

Voor n=85 echter, komt de reeks, voor de eerste keer, in een loop:

{85,
428, 107, 536, 134, 940, 235, 1176, 294, 2060, 515, 2576, 644, 161,
808, 202, 1416, 354, 2480, 620, 155, 776, 194, 1360, 340, 85, 428,
107, 536, 134, 940, 235, 1176, 294, 2060, 515, 2576, 644, 161, 808, 202,
1416, 354, 2480, 620, 155, 776, 194, 1360, 340, 85, 428, 107, 536, 134,
940, 235, 1176, 294, 2060, 515, 2576, 644, 161, 808, 202, 1416, 354,
2480, 620, 155, 776, 194, 1360, 340, 85,.......

Even vond ik dit een teleurstelling. Maar toen ging ik de series uitrekenen voor n=2,3, .. 10000, voor oplopende waarden van p en q. Sommige kwamen al direct in een loop voor n=2, anderen hielden het vol ( de reeksen eindigden op 1) voor tientallen waarden van n. Een aantal voor honderden waarden van n en een enkeling voor duizenden waarden van n. Tenslotte waren er ook waarden van p en q, waarbij de series tot n=10000 altijd op 1 uitkwamen. Mijn Commodo stond dag en nacht te rekenen totdat op zekere dag deze werd gestolen, tesamen met alle data.

Enige tijd geleden ben ik met het onderzoek van deze reeksen verder gegaan.

Om er iets makkelijker over te praten zullen we het vanaf nu hebben over JHSeries.
JHS(3,2) is dan de reeks voor p=3 en q=2, de serie van hierboven en b.v.

JHS(3,2)(10)={10,72,18,128,32,8,2,16,4,1}

Voor iedere n geeft geeft een JHSserie een rij getallen. Het is dus een serie van series. Voor de overzichtelijkheid hebben we het over serie en reeks. Dus nog maar een voorbeeld:

De JHSserie (7,2) geeft de volgende reeksen:

JHS(7,2)(2)={2, 16, 4, 1}

JHS(7,2)(3)={3, 16, 4, 1}

JHS(7,2)(4)={4, 1}

JHS(7,2)(5)={5, 32, 8, 2, 4, 1}

JHS(7,2)(6)={6, 44, 11, 56, 14, 100, 25, 132, 33, 172,43, 216, 54, 380, 95,
476, 119, 596, 149, 752, 188, 47, 236, 59, 296, 74, 520, 130, 912, 228, 57,292, 73, 372, 93,472,118, 828, 207, 1036, 259, 1296, 324, 81, 412, 103,516, 129, 652, 163, 816, 204, 51, 256, 64, 16, 4, 1}

Hier een grafische voorstelling van het stijgen en dalen van JHS(7,2)(6):


De waarden van de 58 getallen in de reeks JHS(7,2)(6), met een maximum van 1296

Wat is er zo interessant aan deze reeksen?

Wel, ten eerste lenen ze zich uitstekend voor "recordje" breken. Maar hierover meer op een volgende pagina.

Ten tweede geven de resultaten aanleiding tot de volgende vermoedens:

Vermoeden 0: Iedere reeks JHS(p,q)(n) is begrensd.

Vermoeden 1:
Voor iedere p en q is er een n zodat JHS(p,q)(n) niet op 1 terecht komt, of anders gezegd in een andere loop dan de loop (1,4) terecht komt. Maar het kan heel, heel lang duren voordat je een waarde van n tegen komt, waarbij JHS(p,q)(n) in een andere loop als de loop (1,4) terecht komt of anders gezegd n kan heel, heel groot zijn.

Vermoeden 2:
Voor iedere k (k niet deelbaar door 4 of 9, plus misschien nog wat van dergelijke voorwaarden) zijn er waarde p,q zodat JHS(p,q)(n) voor iedere waarde n, kleiner dan k op 1 eindigt, maar JHS(p,q)(n) niet.

Mochten deze vermoedens juist zijn, dan wordt het wat minder zeker dar het 3x+1 vermoeden juist is.

anderzijds:
als er ook JHS reeksen bestaan, die altijd in de loop (1,4) terecht komen, dan is de 3x+1 reeks helemaal niet zo bijzonder.

Deze JHSseries lijken mij, momenteel, veel interressanter voor serieus wiskundig onderzoek dan de 3x+1 reeks en ze kunnen meer inzicht verschaffen waarom de ene reeks wel en de andere niet in een loop (anders dan (1,4)) terecht komt. Ook zijn hier mogelijkheden voor een gedistribueerd rekenen project, met mogelijkheden op redelijk snelle interessante resultaten. Hierover verderop meer. Maar eerst wat resultaten tot nu toe.

Voor 0 p 10000 , p = 3mod4 en voor 0 q 10000 , q = 2mod4 heb ik de JHS(p,q)(n) reeksen uitgerekend tot n =1 000 000 . Dat zijn 6 250 000 series.

Hieronder staan voor waarden van n tot 1000 het aantal series dat voor die n en voor de eerste keer in een loop, anders dan de loop (1,4), terecht kwam. B.v van de 6250000 series kwamen er 5607415 al direct, dus voor n=2 in een dergelijke loop terecht. Voor n=17 waren dat er 10788. Voor n=46 waren dat er 1673

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0- 0 5607415 0 0 306106 83241 42785 0 0 26296
1- 17841 0 13632 0 0 0 10788 8571 0 0
2- 7450 6245 5374 0 4645 4034 3706 0 0 3402
3- 2227 0 2951 0 0 0 2657 2196 0 0
4- 2108 2015 1869 0 1786 1673 1347 0 0 1445
5- 0 0 1370 0 1345 0 1304 1173 0 0
6- 1230 1053 0 0 963 1025 0 0 0 882
7- 833 0 809 0 778 0 816 723 0 0
8- 776 689 0 0 692 590 634 0 0 576
9- 507 0 648 0 500 0 549 503 0 0
10- 479 436 472 0 490 418 460 0 0 411
11- 349 0 414 0 0 0 451 370 0 0
12- 421 351 400 0 343 386 251 0 0 332
13- 0 0 262 0 290 0 283 305 0 0
14- 386 235 0 0 315 272 0 0 0 277
15- 298 0 298 0 238 0 267 264 0 0
16- 246 252 0 0 324 220 319 0 0 206
17- 207 0 176 0 211 0 180 211 0 0
18- 190 168 187 0 153 168 174 0 0 172
19- 101 0 171 0 0 0 172 168 0 0
20- 198 168 130 0 159 163 0 0 0 153
21- 0 0 156 0 202 0 106 103 0 0
22- 144 148 133 0 157 194 0 0 0 155
23- 90 0 102 0 141 0 143 112 0 0
24- 155 121 0 0 100 121 117 0 0 151
25- 110 0 130 0 0 0 121 114 0 0
26- 105 110 76 0 99 116 104 0 0 118
27- 0 0 131 0 0 0 89 103 0 0
28- 97 96 98 0 87 130 63 0 0 115
29- 0 0 83 0 138 0 104 86 0 0
30- 81 96 68 0 106 88 0 0 0 104
31- 121 0 93 0 74 0 106 83 0 0
32- 93 84 0 0 95 86 84 0 0 70
33- 70 0 59 0 0 0 69 73 0 0
34- 96 54 67 0 81 87 54 0 0 70
35- 38 0 67 0 0 0 74 95 0 0
36- 43 81 75 0 58 66 76 0 0 67
37- 0 0 78 0 57 0 61 61 0 0
38- 75 68 38 0 58 78 0 0 0 56
39- 56 0 61 0 57 0 73 64 0 0
40- 82 57 0 0 56 81 55 0 0 78
41- 45 0 59 0 43 0 75 44 0 0
42- 56 30 45 0 95 63 47 0 0 69
43- 27 0 52 0 0 0 51 54 0 0
44- 58 46 34 0 45 40 53 0 0 43
45- 0 0 71 0 38 0 39 42 0 0
46- 49 59 0 0 57 48 0 0 0 67
47- 31 0 41 0 34 0 58 31 0 0
48- 38 47 0 0 42 32 44 0 0 37
49- 27 0 44 0 47 0 44 40 0 0
50- 43 26 48 0 47 24 36 0 0 39
51- 28 0 43 0 0 0 51 46 0 0
52- 41 40 41 0 32 39 0 0 0 42
53- 0 0 42 0 44 0 58 31 0 0
54- 29 29 32 0 17 71 0 0 0 63
55- 40 0 25 0 37 0 29 28 0 0
56- 42 46 0 0 37 29 29 0 0 31
57- 34 0 44 0 0 0 34 35 0 0
58- 22 31 36 0 34 34 21 0 0 38
59- 0 0 31 0 0 0 44 54 0 0
60- 38 39 34 0 43 39 26 0 0 31
61- 0 0 34 0 20 0 32 20 0 0
62- 35 31 28 0 25 22 0 0 0 21
63- 41 0 40 0 21 0 23 46 0 0
64- 36 37 0 0 40 26 26 0 0 15
65- 28 0 27 0 0 0 34 19 0 0
66- 33 23 33 0 28 23 27 0 0 21
67- 43 0 23 0 0 0 19 27 0 0
68- 32 32 23 0 24 22 37 0 0 24
69- 0 0 16 0 20 0 21 20 0 0
70- 18 36 36 0 30 27 0 0 0 26
71- 46 0 23 0 30 0 41 25 0 0
72- 28 11 0 0 24 28 51 0 0 26
73- 15 0 18 0 42 0 25 30 0 0
74- 41 27 35 0 17 13 30 0 0 20
75- 15 0 15 0 0 0 27 18 0 0
76- 39 25 28 0 18 28 7 0 0 16
77- 0 0 23 0 33 0 38 16 0 0
78- 8 21 0 0 18 28 0 0 0 19
79- 19 0 18 0 33 0 39 17 0 0
80- 18 33 0 0 24 14 24 0 0 33
81- 23 0 15 0 29 0 33 26 0 0
82- 28 22 11 0 34 14 25 0 0 14
83- 0 0 9 0 0 0 37 21 0 0
84- 22 14 27 0 17 22 0 0 0 21
85- 0 0 39 0 17 0 14 13 0 0
86- 47 22 9 0 23 16 0 0 0 20
87- 18 0 22 0 19 0 19 22 0 0
88- 13 23 0 0 13 20 25 0 0 11
89- 12 0 15 0 41 0 23 17 0 0
90- 23 31 10 0 27 14 25 0 0 23
91- 0 0 16 0 0 0 7 16 0 0
92- 5 13 22 0 12 22 38 0 0 26
93- 0 0 15 0 15 0 10 19 0 0
94- 22 19 15 0 14 52 0 0 0 13
95- 28 0 18 0 18 0 16 14 0 0
96- 13 20 0 0 18 27 12 0 0 21
97- 13 0 9 0 0 0 12 12 0 0
98- 15 19 16 0 12 20 22 0 0 14
99- 9 0 22 0 0 0 11 13 0 0

In het totaal hadden, van de 6 250 000 series, het er 6214752 "begeven" , voodat n = 1000 werd bereikt. Maar er waren er ook nog 35248 die reeksen opleverden tot n = 1000 die allemaal op 1 terecht kwamen.

In een volgende stap onderzocht ik hoe het deze 35248 series verging als ik verder rekende tot n = 1 000 000

Bij n=10000 waren er nog 11290 "over"
Bij n=100000 nog 3970
Bij n=1 000 000 nog 1246

In een derde stap onderzocht ik de 1246 overgebleven reeksen tot n= 100 000 000. Met de verwachting dat zo'n 300 het "vol zouden houden" tot 10 000 000 en zo'n 30 tot 100 000 000.

Dit bleek niet het geval.

Ik ben nu bezig met een vierde stap, door meer waarden van p en q te onderzoeken. De resultaten tot nog toe geven aanleiding om niet alleen te veronderstellen dat er vele, zo niet oneindig vele series zijn, die net als de serie 3x+1 altijd op 1 eindigen, maar ook dat er series zijn die het willekeurig lang volhouden voordat ze het "begeven".

Meer op de pagina onderzoek en recordje breken .

naar begin pagina

home>getaltheorie>voorbij 3x+1
©jos hendriks, 2008-2016