kop

Home Basics Origami Fractalen Getaltheorie Betegelingen Woordenboek Links Mijn boeken ster Contact

home>getaltheorie>english soon

Getaltheorie

In dit onderdeel van de site zal het uitsluitend gaan om de zogenaamde elementaire getaltheorie. Hierin worden de gehele getallen bestudeerd.

Eenvoudige vraagstukken

Vraagstukken in deze theorie zijn vaak eenvoudig te formuleren.

Voorbeelden:

  • Als je een oneven getal bij een even getal optelt komt er dan altijd een oneven of een even getal uit.
  • En hoe zit dat bij vermenigvuldigen: oneven getal maal even getal geeft......?
  • Door welke getallen kun je 24 delen zodat er weer een geheel getal uitkomt? (Deze getallen heten de delers van 24)
  • Hoeveel delers heeft 24 eigenlijk?
  • En 124.
  • En 124124124124124124?

De vraag: Hoeveel delers heeft 24, is vrij eenvoudig te beantwoorden. Door wat proberen, eerst 1, dan 2, dan 3, dan 4, dan 5 enz, vind je 1,2,3,4,6,8,12,24.
Op dezelfde manier kun je de delers van 124 vinden. Het is alleen wat meer werk.
In theorie kun je op dezelfde manier alle delers van 124124124124124124 vinden: probeer of je door 1 kan delen, dan of je door 2 kan delen, dan door 3 enz. Het zou op deze manier wel jaren duren. Er zijn in de loop der jaren allerlei wiskunde technieken ontwikkeld om dit proces te versnellen, maar een formule waar je het getal 124124124124124124 instopt en er vervolgens de delers uitrollen is nooit gevonden.

lastig te beantwoorden

Hoewel veel vragen en stellingen eenvoudig te formuleren zijn kunnen de antwoorden en bewijzen extreem moeilijk zijn en wordt daarbij gebruik gemaakt van de meest moderne wiskunde theorieën. Een voorbeeld hiervan is het bewijs van de "laatste stelling van Fermat". Het bewijs van deze stelling werd enige jaren geleden en 350 jaar nadat de stelling werd geformuleerd door Andrew Wiles geleverd. Hij had er jaren lang aan gewerkt en gebruikte meerdere zeer geavanceerde wiskunde theorieën bij het bewijs.

Vermoedens

In de getaltheorie zijn talloze vermoeders, dat wil zeggen stellingen, waarvan men vermoedt dat ze waar zijn, maar die tot op heden niet bewezen zijn.

Voorbeelden:

Kan elk even getal geschreven worden als de som van twee priemgetallen? Dit zogenaamde vermoeden van Goldbach is nog niet bewezen.

Ook het 3x+1 vermoeden, ook bekend ander de namen Collatz probleem en Syracuse probleem is een eenvoudig te formuleren stelling, die tot nog toe niet bewezen is. Voor informatie over dit vermoeden: zie de pagina's 3x+1 simpel en 3x+1 .

 

naar begin pagina

©jos hendriks, 2008-2016