Afbeelding

andere benamingen:

"functie", soms "transformatie"

opm. Het begrip afbeelding is wat ruimer als het begrip functie. Bij functies gaat het meestal om getallen. Afbeeldingen kunnen talloze soorten objecten koppelen. In meetkundige situaties wordt vrijwel altijd het begrip afbeelding gebruikt.

als in:

"deze afbeelding voegt aan ieder getal zijn kwadraat toe", "bij deze afbeelding blijven afstanden en hoeken behouden", " de functie (x) = x2", "dit is een affiene transformatie".

Voorbeelden

voorbeeld 1


Een afbeelding, die aan drie symbolen een getal toevoegd. Hier zijn het de zogenaamde ASCI codes, die in computers worden gebruikt om te weten welk symbool moet worden afgedrukt.

voorbeeld 2


Een afbeelding van de natuurlijke getallen naar de natuurlijke getallen . Deze afbeelding vermenigvuldigd ieder natuurlijk getal met 2. Rechts staan 2 verschillende wijzen van notatie. Het symbool f staat voor de funktie. De x representeert een getal uit de eerste verzameling, hier dus de verzameling van de natuurlijke getallen.

voorbeeld 3


Een afbeelding van het vlak naar het vlak. Meestal korter aangeduidt als een afbeelding van het vlak in het vlak. Aan de punten in het vlak wordt een punt toegevoegd. Hier wordt aan ieder punt van het vlak een punt gekoppeld dat twee keer zover van het punt O ligt en ook nog twee eenheden naar rechts is verschoven. f is het symbool voor de afbeelding. (x,y) is een punt van het vlak met als eerste coördinaat x en als tweede coördinaat y

Definitie

Een afbeelding koppelt aan ieder element uit een verzameling ten hoogste één element uit een andere (of dezelfde) verzameling.

Notaties, spraakgebruik en spraakverwarring.

Het begrip afbeelding is alom tegenwoordig in de wiskunde. Het is dan ook niet verwonderlijk dat er verschillende notaties van bestaan en er allerlei conventies zijn over naamgeving. Hoewel men heel precies kan zijn over een afbeelding, wordt er zowel op papier als in spraakgebruik veel over gelaten aan "de goede verstaander ....." en "wat ik precies bedoel blijkt wel uit de context". Dus wanneer u denkt "wat bedoelt tie nu eigenlijk", kan het heel wel aan de ander liggen.

voorbeeld 1

De haakjes notatie:

f(x)=x2

Waarschijnlijk staat f hier voor de funktie, die aan een getal zijn kwadraat toevoegd. De getalverzameling is, wanneer uit de context niet iets anders blijkt, de verzameling van "alle" getallen, de reële getallen genaamd. Meestal wordt voor denaamgeving van (getal)funkties als eerst de letter gebruikt. Heb je meer funkties dan worden die en vervolgens genoemd. B.v:

f(x)=x2

(x)=2x

(x)=x/2

Een meer volledige notatie is:

f:(x)=x2

Het symbool staat voor de verzameling van de reële getallen. Er staat dus is de afbeelding van de reëele getallen naar de reële getallen, die aan ieder reël getal zijn kwadraat toevoegd.

Het symbool x staat voor alle elementen, waaruit gekozen mag worden. Hier dus de verzameling . We kunnen x vervangen door ieder element uit , b.v:

(3)

en dan het zogenaamde beeld van 3 berekenen:

(3)=32 =9

Omdat x louter een symbool is, kan je ook iets anders gebruiken. Hieronder staat dus 2 keer dezelfde funktie als boven:

:(y)=y2en:(®)=®2

Dit is een iets andere afbeelding:

: (x)=x2

De verzameling, waarop gedefiniëerd is, is nu de verzameling van de natuurlijke getallen. Ook nu is (3)=9, maar bijvoorbeeld () is niet gedefiniëerd.
Om het voor de lezer wat makkelijker te maken zal men vaak voor het symbool x vervangen door een n dus

: (n)=n2 schrijven.

voorbeeld 2

is de afbeelding, die aan ieder tweetal natuurlijke getallen hun som toevoegd:

: (n,m)=n+m

staat kennelijk voor alle mogelijke getallen paren, bestaande uit twee natuurlijke getallen. Bijvoorbeeld (3,4)=7 en (1,1)=2

Als het over betegelingen of fractals gaat zijn er voordurend afbeeldingen, die gedefiniëerd zijn voor getallen paren. De getallen paren zijn dan punten van het vlak. Voor dit soort afbeeldingen worden meestal hoofdletters gebruikt, te beginnen met de A:

A(x,y)=(2x,2y)

B(x,y)=(x2 -y2 ,2xy)

A vermenigvuldigd de coördinaten van ieder punt met 2 of anders gezegd, de beeldpunten komen twee keer zo ver van O te liggen.
B is de belangrijkste funktie voor fractalen.

Toetsing

  1. Geef zo volledig mogelijke notaties (funktievoorschriften) voor de volgende funkties.
    1. Het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen met 5.
    2. Het vermenigvuldigen van reëele getallen met 5
    3. Het kwadrateren van een reëel getal en dat vervolgens vermenigvuldigen met 5
    4. Getallen vermenigvuldigen met 5 en ze vervolgens kwadrateren.
    5. De punten van het vlak 5 (eenheden) naar rechts verschuiven.
   

verwante onderwerpen:

afbeeldingen in het vlak

naar begin pagina


©jos hendriks, 2008