groep

als in: "de gehele getallen met optelling vormen de groep Z+ ", "de symmetriegroep van de kubus", "de cyclische groep"

bekend zijn met: "gehele getallen", "afbeelding", "afbeelding in het vlak", "samenstellen van afbeeldingen", "identieke afbeelding"

Hoewel het begrip "groep" op school niet snel aan de orde komt is het een basisbegrip in de wiskunde en zijn er in de meeste wiskunde theorieën velerlei voorbeelden te vinden. Het begrip "groep" is de wiskundige abstractie van het begrip "symmetrie"

Eerste voorbeeld

Voor een groep heb je twee dingen nodig: een verzameling en een (binaire) bewerking.
Voorbeelden van een binaire bewerking zijn twee getallen optellen, twee getallen vermenigvuldigen, twee afbeeldingen na elkaar uitvoeren , twee punten nemen en daar de rechte verbindingslijn bij nemen, ....

We nemen de verzameling van de gehele getallen ......-3,-2,-1,0,1,2,3..... en de bewerking optellen.
Dit is een groep omdat aan de volgende vier eisen voldaan is:

  1. Steeds als je twee gehele getallen optelt krijg je een getal dat ook geheel is. We zeggen dat de verzameling van de gehele getallengesloten is voor de optelling.
  2. Er is één getal, dat opgeteld bij welk getal dan ook "niets doet" : 0+5=5, 0+(-3)=-3, etc. We zeggen dat de verzameling van de gehele getallen eenneutraal element voor optellen heeft, namelijk het getal 0.
  3. Bij ieder geheel getal a kun je een geheel getal b vinden die bij elkaar opgeteld het getal 0 opleveren: 4+(-4)=0, -1+1=0, 0+0=0, etc. We zeggen dat ieder element een inverse heeft.
  4. De vierde eis zegt iets over de volgorde wanneer je de bewerking, hier dus optelling, meerdere keren wilt uitvoeren:
    3+4+5. Je kunt eerst 3 en 4 bij elkaar optellen met als resultaat 7. Vervolgens 5 erbij optellen met als resultaat 12. Je kunt ook eerst 4 en 5 bij elkaar optellen met als resultaat 9 en vervolgens 9 en 3 optellen met hetzelfde resultaat. Korter genoteerd (3+4)+5=3+(4+5). Dit heet de bewerking, hier optelling, isasociatief.

 

Tweede voorbeeld : permutatie groepen

borduurpatroon in wisselende kleuren
Links een borduurpatroontje in drie kleuren: rood, groen en blauw. Rechts hetzelfde patroon, maar de kleuren blauw en groen zijn verwisseld. De delen van het patroon, die links groen zijn, zijn rechts blauw. Wat links blauw is is rechts groen.

Gebruiken we voor de drie kleuren de letters r, g en b dan kunnen we de verwisseling van kleuren, hierboven, als volgt noteren r—>r en g—>b en b—>g of korter: (r,g,b) —> (r,b,g). Een dergelijke verwisseling noemen we een (kleuren)permutatie. Er zijn natuurlijk meerdere verwisselingen mogelijk met de drie kleuren rood, groen en blauw. Hier staan ze allemaal:

  • (r,g,b) —> (r,b,g) blauw en groen verwisseld, rood blijft rood
  • (r,g,b) —> (b,g,r) blauw en rood verwisseld , groen blijft groen
  • (r,g,b) —> (g,r,b) groen en rood verwisseld, blauw blijft blauw
  • (r,g,b) —>(b,r,g) alle kleuren wisselen, rood wordt blauw
  • (r,g,b) —> (g,b,r) alle kleuren wisselen, rood wordt groen

Tezamen met (r,g,b) —> (r,g,b) , waarbij er niets wordt verwisseld vormen ze een groep met als groepsbewerking het achter elkaar uitvoeren van twee kleurverwisselingen.

Een kleurwisseling is niets anders dan een afbeelding van een verzameling met drie elementen naar dezelfde verzameling:

In plaats van r,g,b kunnen we ook de getallen 1,2,3 gebruiken:

Iedere afbeelding, waarbij ieder origineel een ander beeld heeft (één op één afbeelding) is een permutatie. Er zijn 6 zulke afbeeldingen bij een verzameling van drie elementen. Dus er zijn 6 permutaties van de getallen 1,2 en 3

Alle permutaties van een verzameling met 3 elementen

Er is nog een manier om permutaties te beschrijven. Het zijn namelijk ook alle manieren waarop je de getallen 1,2 en 3 op een rij kunt zetten:

123 213 312
132 231 321

De verzameling van één-op-één afbeeldingen van een verzameling met n elementen naar zichzelf vormen een groep. De bewerking is het samenstellen van afbeeldingen. De afbeeldingen worden permutaties genoemd.

geen voorbeeld

De gehele getallen met als bewerking vermenigvuldigen is geen groep. Weliswaar zijn de gehele getallen gesloten voor de bewerking vermenigvuldiging en is het getal 1 een goede kandidaat voor het neutrale element, maar dan hebben vrijwel alle getallen geen inverse. B.v neem 5, dan moet gelden 5*b=1, dus b=1/5 en 1/5 is geen geheel getal.

nog meer voorbeelden

Voor nog meer voorbeelden, zie symmetriegroep.

We geven nog één keer de definitie is een iets formele vorm

Definitie

Een groep is een verzameling met een bewerking. Voorbeelden van bewerkingen zijn optellen, vermenigvuldigen, samenstellen van afbeeldingen. We gebruiken ook het woord (groeps)operator i.p.v. bewerking. We gebruiken hier het symbool "*" voor de operator. * kan dus optellen, vermenigvuldigen of nog iets heel anders voorstellen.Verder zijn er de volgende vier eisen:

De verzameling is gesloten voor de bewerking, ofwel voor ieder tweetal elementen a en b uit de verzameling is a*b ook een element uit de verzameling.

Er is een neutraal element e zodat a*e = e*a = a voor ieder element a uit de verzameling.

Ieder element heeft een inverse ofwel voor iedere a uit de verzameling is er een b zodat a*b=b*a=e.

De bewerking is asociatief: Er geldt (a*b)*c=a*(b*c) voor alle a, b en c.

 

Toetsing

  1. We bouwen een groep bestaande uit rotaties. We beginnen met één rotatie, de draaiïng om het punt (0,0) over 30°, genoteerd door D30° . De groepsbewerking is het samenstellen van afbeeldingen. De groep moet gesloten zijn dus D30° D30° moet in de groep zitten. Welke afbeelding is dat? Kun je nog meer afbeeldingen vinden, die tot de groep moeten behoren? Hoeveel afbeeldingen worden het in totaal? Welke is het eenheidselement?
  2. De groep in 1. heet een cyclische groep. Hoeveel elementen heeft de cyclische groep als we met een draaiïng van 10° beginnen? En als we met een draaiïng van 7° beginnen? Wat gebeurd er als we met een draaiïng van ° beginnen?
  3. V={1,-1}. Laat zien dat V tezamen met als bewerking de gewone vermenigvuldiging een groep is. Dus controleer of de verzameling gesloten is, ieder element een inverse heeft, er een eenheidselement is en dat de bewerking asociatief is.
  4. De groep van de kubus bestaat uit draaiïngen en spiegelingen. De draaiïngen alleen vormen ook een groep omdat twee draaiïngen achter elkaar uitgevoerd weer een draaiïng opleveren en omdat de identitieke afbeelding een draaiïng is, nl. een draaiïng over 0°. Vormen de spiegelingen van de kubus ook een groep?
  5. De gehele getallen met vermenigvuldigen vormen geen groep (zie boven). Welke getallen hebben wel een inverse?
  6. Ga na dat de rationale getallen zonder het getal 0 een groep vormen met de bewerking vermenigvuldigen.

 

   

verwante onderwerpen:

symmetrie groep
de groep van de kubus

naar begin pagina


©jos hendriks, 2008