isometrie

Engels:"isometry"

.bekend zijn met: "afbeelding", "afbeelding in het vlak", "coördinaten in het vlak"

Isometrieën zijn belangrijk bij het beschrijven van symmetrie eigenschappen. We maken er gebruik van, op deze site, bij de onderwerpen betegelingen, polyhedra en origami. Het zijn afbeeldingen. We beperken ons hier tot afbeeldingen van het platte vlak naar het platte vlak.


Een isometrie is een afbeelding, die de afstanden bewaard. A',B', C' en D' zijn de beeldpunten van A,B,C en D. De afstand A'B' is gelijk aan AB en C'D' is gelijk aan CD. De afstand tussen ieder tweetal punten in het vlak is gelijk aan de afstand van de beeldpunten.

Voorbeelden:

_____
translatie

Stel je voor dat je alle punten in het vlak een stukje naar rechts en een stukje omhoog schuift. Bijvoorbeeld één eenheid. Met coördinaten kun je dat beschrijven als het punt (a,b) gaat naar het punt (a+1,b+1). Deze afbeelding heet een verschuiving of translatie.

_____
rotatie

Bij een rotatie worden alle punten van het vlak gedraaid rond één vast punt en over dezelfde hoek

_____
spiegeling

Bij een spiegeling worden alle punten van het vlak gespiegeld in een lijn.


glijspiegeling

Bij dit type afbeeldingen worden de punten van het vlak verschoven en gespiegeld. De volgorde is niet van belang: eerst schuiven en dan spiegelen levert hetzelfde resultaat op als eerst spiegelen en dan schuiven.

Definitie

Een isometrie is een afbeelding, die de afstanden bewaart. Dus beeldpunten liggen even ver van elkaar af als de originele punten

Eigenschappen

Iedere isometrie (in het platte vlak) is een translatie of een rotatie of een spiegeling of een glijspiegeling.

Iedere isometrie kan beschreven worden met een redelijk eenvoudige formule. Computerprogramma's maken hier gebruik van om plaatjes te kunnen draaien, verschuiven etc.

De spiegelingen en glijspiegelingen draaien de oriëntatie om. Translaties en draaiingen veranderen de oriëntatie niet:


boven: bij een spiegeling wordt linksom rechtsom en visa versa.
beneden: bij een draaiing verandert de oriëntatie niet.

Toetsing

  1. Welke afbeeldingen zijn isometrieën van het vlak? (Aanw: teken een paar punten met hun beeldpunten)
    1. A: (x,y) (x+2,y)
    2. B:(x,y) (2x,y)
    3. C:(x,y) (2x,2y)
    4. D:(x,y) ( -x,y)
    5. E:(x,y) (-x,-y)
    6. F:(x,y) (y,x)


 


verwante onderwerpen:

symmetrie
symmetriegroep

naar begin pagina


©jos hendriks, 2008