regelmatige vlakverdelingen

andere benamingen: "regelmatige roosters", regelmatige betegelingen"

Hierboven staan de drie regelmatige vlakverdelingen, ook wel roosters genoemd. Dat ze regelmatig zijn volgt natuurlijk uit de definitie. Die luidt aldus:

 Een regelmatige vlakverdeling is een overdekking van het platte vlak met convexe en congruente regelmatige veelhoeken van één soort (driehoeken of vierhoeken,of......). Deze komen in hun hoekpunten samen. 

De punten waar de hoekpunten samen komen noemen we de verdelingspunten. Rond ieder verdelingspunt liggen evenveel veelhoeken.

 De eerste tekening geeft de regelmatige vlakverdeling weer met regelmatige driehoeken, waarvan er in ieder hoekpunt zes samen komen. De tweede tekening geeft een regelmatige vlakverdeling met regelmatige vierhoeken (vierkanten), waarvan er steeds in een hoekpunt vier samen komen. Tenslotte de laatste tekening geeft een regelmatige vlakverdeling met regelmatige zeshoeken, waarvan er steeds drie samen komen.

Om te laten zien dat er geen andere regelmatige vlakverdelingen bestaan volstaat de volgende redenering:

Bekijk de situatie in een willekeurig verdelingspunt van de betegeling. De hoeken van die regelmatige veelhoeken moeten samen 360 graden zijn,want er mogen geen "gaten" in de betegeling zijn.  Hier moeten dus 3 of meer regelmatige veelhoeken samen komen. Met regelmatige driehoeken lukt dat omdat de hoeken hiervan 60 graden zijn en 6 keer 60 is 360. Met vierkanten, waarvan de hoeken 90 graden zijn lukt dat ook omdat 4 keer 90 ook 360 op levert.  De hoeken van een regelmatige vijfhoek zijn 108 graden en dus lukt het hiermee niet want 3 maal 108 is te weinig en 4 maal 108 is te veel. Met regelmatige zeshoeken lukt het weer wel: 3 maal 120 graden is 360 graden. Met regelmatige zeven, acht, negen enz.hoeken lukt het ook niet omdat de hoeken van deze veelhoeken altijd groter dan 120 graden zijn en er dus nooit 3 samen kunnen komen.

toetsing

  1. Waarom zijn onderstaande vlakverdelingen niet regelmatig?

2. Maak een lijstje met de hoekgrootte van de regelmatige driehoek, vierhoek, ........achthoek.

verwante onderwerpen:

halfregelmatige vlakverdelingen

naar begin pagina


©jos hendriks, 2008