symmetriegroep

als in: "de symmetriegroep van de kubus bestaat uit 24 spiegelingen en 24 draaiïngen", "de symmetriegroep van deze prent van Escher bevat naast rotaties ook spiegelingen en glijspiegelingen"

bekend zijn met"afbeeldingen van het vlak","groep"," isometrie", "symmetrie" , "samenstellen van afbeeldingen","identieke afbeelding" , "ruit"

voorbeeld 1: de symmetriegroep van het vierkant


De spiegeling in de lijn beeldt het vierkant af op zichzelf. Ook de spiegelingen in de lijnen , en beelden het vierkant op zichzelf af. Deze vier spiegelingen zijn dus symmetrieën van het vierkant


Rotaties om het middelpunt van het vierkant en over hoeken van 90, 180 en 270 graden beelden het vierkant op zichzelf af. Deze drie rotaties zin dus symmetrieën van het vierkant

De vier spiegelingen en de drie rotaties van hierboven zijn, tezamen met de de identieke afbeelding alle symmetrieën van het vierkant. Deze 8 afbeeldingen vormen een groep. De groepsoperatie is het samenstellen van afbeeldingen. We noemen deze groep de symmetriegroep van het vierkant.

Definitie

De afbeeldingen, die een figuur op zichzelf afbeelden heet de symmetriegroep van de figuur. Deze afbeeldingen zijn de symmetrieën van deze figuur en dus ook isometrieën van het vlak.
De groepsoperator is het samenstellen van afbeeldingen, het eenheidselement is de identieke afbeelding.

Voorbeeld 2: de symmetriegroep van de ruit

We gaan iets dieper in op een symmetriegroep, de symmetriegroep van de ruit.


De spiegeling in de lijn beeldt de ruit op zichzelf af. Als voorbeeld is van A het beeldpunt A' getekend. Ook spiegelen in de andere diagonaal van de ruit beeldt de ruit op zichzelf af.
Draaien over 180° om het snijpunt van de diagonalen beeldt ook de ruit op zichzelf af. Draaien over 0°, wat natuurlijk de identieke afbeelding is, is nog een symmetrie van de ruit. Andere zijn er niet. Ook draaien over 90° niet omdat dan b.v. de ene diagonaal afgebeeldt moet worden op de andere, maar deze zijn niet even lang.

De symmetriegroep bestaat dus uit 2 spiegelingen en twee draaiïngen, waarvan een gelijk is aan de identieke afbeelding. We noemen ze S , S, , D180°


Als we willen nagaan dat dit inderdaad een groep is, dan moeten we nagaan of er een eenheidselement is, of ieder element uit de groep een inverse heeft en of de samenstelling van 2 afbeeldingen weer een afbeelding oplevert binnen de groep.

1. Het eenheidselement is natuurlijk de identieke afbeelding. Want voor welke afbeelding A dan ook A = A=

2.Twee keer dezelfde spiegeling achter elkaar uitvoeren geeft de identiteit dus

S S =
SS=

en ook twee keer draaien over 180° geeft de identiteit, dus

D180° D180°=

en natuurlijk ook twee keer achter elkaar "niets doen" geeft "niets doen":

=

Blijkbaar is ieder element uit de groep van de ruit gelijk aan zijn eigen inverse.

3. Om na te gaan of de groep gesloten is moeten we ook nog nagaan of alle mogelijke samenstellingen van 2 verschillende afbeeldingen uit de groep weer een afbeelding, die in de groep zit op, levert. We laten het bewijs zitten. Het is wat bewerkelijk, zonder andere wiskunde theorieën (goniometrie, matrices).

4.De asociativiteit volgt uit het feit dat dat voor alle afbeeldingen met als bewerking samenstellen geldt.

 

 

Toetsing

 


verwante onderwerpen:

 

naar begin pagina


©jos hendriks, 2008